广西大学：《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 2.3 随机变量的分布函数

2.3随机变量的分布西数二、分布函数的性质1° F(x)是一个不减函数事实上,由定义知对任意实数i,(<x)有F(x2)-F(x)=P(x <X≤x,}≥ 0 .2° 0≤F()≤1,且F(-80)=lim F(x)=0 ,X-→-8F(o0) =lim F(x)=1.X-→00

二、分布函数的性质 1 F(x)是一个不减函数.  事实上, , ( ) , 由定义知对任意实数x1 x2 x1  x2 有 ( ) ( ) F x2 − F x1 = { } P x1  X  x2  0 . 2 0  F(x)  1 ,  且 F(−) =lim F(x) x→− = 0 , F() =lim F(x) x→ = 1

23随机变量的分布西数证明 F(x)=P[X≤x},当x越来越小时，P[X≤x}的值也越来越小,因而当x→-时,有lim F(x)= lim P(X ≤ x) = 0;x→-8X-80x8同样，当x增大时PX≤x!的值也不会减小，而X E(-00,x) ,当x → 80 时,X 必然落在(-80,80)内08x所以lim F(x) = limP(X ≤ x) =1 .X-00X→0

F(x) = P{X  x}, lim ( ) = lim {  } = 0； →−  →−  F x P X x x x 证明 当x 越来越小时, P{X  x}的值也越来越小,因而当x → −时,有 ( , ) , , ( , ) . , { } , 当 时 必然落在 内 同 样 当 增大时 的值也不会减小 而  − →  −   X x x X x P X x lim ( ) = lim {  } = 1 . → → F x P X x x x 所以 o o

2.3随机变量的分布西数3°F(x+0)=F(x),即F(x)是右连续的↑F(x)0,x<0,1Pl,0≤x<xi,P2F(x) =P2, xi≤x<x2'p1,x≥X2·0x,XX注意P(X >a) =1- F(a).K

3 F(x + 0) = F(x) ,  即F(x)是右连续的.              = 1, . , , , 0 , 0, 0 , ( ) 2 2 1 2 1 1 x x p x x x p x x x F x o x F(x) • 1 x • 2 x  p1  2 p 1 注意 P{X  a} = 1 − F (a)

2.3随机变量的分布西数重要公式(1) P(a<X≤b) = F(b)- F(a) (2) P[X >a) =1 - F(a) .证明 因为 (X≤b}=(X≤a)Uia<X≤b),X≤ania<X≤b)=,所以 P(X≤b)=PX≤a)+P(a<X≤b),故 P(a<X≤b)=F(b)-F(a)

重要公式 (1) P{a  X  b} = F (b) − F (a) , (2) P{X  a} = 1 − F (a) . 证明 因 为 {X  b} = {X  a}{a  X  b}, {X  a}{a  X  b} =  , 所 以 P{X  b} = P{X  a}+ P{a  X  b}, 故 P{a  X  b} = F(b) − F(a)