第三章多维随机变量及其分布第五节两个随机变量的函数的分布一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、小结概率论与数理统计（第4版）
第五节 两个随机变量的函数的分布 一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
两个随机变量的函数的分布3.5一、问题的引入有一大群人,令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压并且已知Z与X,Y的函数关系Z =g(X,Y),如何通过X,Y的分布确定Z的分布为了解决类似的问题下面我们讨论随机变量函数的分布
令 X 和 Y 分别表示一个人的 为了解决类似的问题下面 一、问题的引入 布确定 Z 的分布. X,Y 的函数关系Z = g(X,Y), 年龄和体重, 有一大群人, Z 表示该人的血压, 并且已知Z 与 如何通过X,Y 的分 我们讨论随机变量函数的分布
3.5两个随机变量的函数的分布二、离散型随机变量函数的分布若二维离散型随机变量的联合分布律为P(X = x,,Y = y,}= Pj, i, j=1,2,...则随机变量函数Z = g(X,Y)的分布律为P(Z = zk) = P(g(X,Y) = zh)Zp,k = 1,2,....zk=g(x;y,)K
二、离散型随机变量函数的分布 若二维离散型随机变量的联合分布律为 { , } , i j ij P X = x Y = y = p 则随机变量函数Z = g(X,Y)的分布律为 { } k P Z = z ( ) k = i j z g x y ij p i, j = 1,2, { ( , ) } k = P g X Y = z = k = 1,2,
两个随机变量的函数的分布3.5例如已知X和Y的联合分布律表如下YX12-2-10.20.10.2100.30.2求Z=XY的分布律解因为XY2-212-1-1-2112-2所以Z12-2-1P0.200.20.3+0.3=0.5KY
例如 解 因为 所以
3.5两个随机变量的函数的分布三、连续型随机变量函数的分布(一)Z =X +Y的分布设(X,Y)是二维连续型随机变量它具有概率密度f(x,J).则z=X +Y仍为连续型随机变量,其概率密度为fx+r(z) = / m f(z - y,y)d y,(5.1)(5.2)或fx+r(z) = f-m f(x,z -x)dx.又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘
三、连续型随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维连续型随机变量， 密度f (x, y). 它具有概率 则Z = X +Y仍为连续型随机变量， 其 概率密度为 ( ) ( , )d , − f + z = f z − y y y X Y (5.1) 或 f (z) f (x,z x)d x . X Y − + = − (5.2) (一) Z = X + Y 的分布 又若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘