第二章随机变量及其分布第四节连续型随机变量及其概率密度一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量及其概率分布三、小结概率论与数理统计（第4版）
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量及其概率分布 三、小结 第四节 连续型随机变量及其概率密度
2.4造续型随机变量及具概率密度一、概率密度的概念与性质1.概率密度函数的定义如果对于随机变量X的分布函数F(x），存在非负可积函数f（x），使对于任意实数有f(x) F(x)=fmf(t)dt,则称X为连续型随机变量其中函数f(x)称为X的0x概率密度函数，简称概率密度连续型随机变量的分布函数是连续函数
一、概率密度的概念与性质 1.概率密度函数的定义 如果对于随机变量X的分布函数F(x) , 存在 非负可积函数f (x) , 使对于任意实数x有 F(x) ， − x = f (t)dt 则称X为连续型随机变量, 其中函数f (x)称为X的 概率密度函数, 简称概率密度. 连续型随机变量的分布函数是连续函数. o x • f (x)
24造续型随机专量景及工概率密度2.概率密度函数的性质1° f(x)≥0;2° Jm f(x)dx = 1 ;3°对于任意实数x,x（x≤x），P(x) <X≤x2}= F(x2)- F(x)=(* f(x)dx ;4°若f(x)在点x处连续，则有F(x)=f(x)
2.概率密度函数的性质 1 f (x) 0 ; 2 ( )d = 1 ; − f x x 3 , ( ) , 对于任意实数x1 x2 x1 x2 { } 1 2 P x X x ( )d ; 2 1 f x x x x ( ) ( ) = F x2 − F x1 = 4 若f (x)在点x处连续, 则有F(x) = f (x)
24透续型随机变量及工概率密度证明 2° 1=F(o)=[t f(x)dx.3° P(x <X≤x)) =F(x2)-F(x)=" (x) dx - (x) dx-f" f(x)dx.f(x)S = J- f(x)dx =1SS, = [" f(x)dxxXi X2
证明 f (x)d x . + − 1=F() = { } 1 2 P x X x ( ) ( ) F x2 − F x1 = f x x x ( ) d 2 − = f x x x ( ) d 1 − − ( )d . 2 1 f x x x x = o x f (x) 1 = ( )d = 1 + − S f x x S1 S f x x x x ( )d 2 1 1 = 1 x • x2 • 2 3
24造续型随机专量景及工概率密度同时得以下计算公式P(X≤a)= F(a) = ["m f(x)dx ,P(X>a)=1- P[X≤a)=1- F(a)= (x) dx-" f(x) dx=" f(x)dx+ J f(x)dx= J f(x)dx.4° 若 f(x)在点x处连续,则有 F(x)= f(x)
4 ( ) , ( ) ( ) . o 若 f x 在 点 x 处连续 则 有 F x = f x P{X a} = F(a) f (x)d x , a − = P{X a} = 1 − P{X a} f x x f x x a ( ) d ( ) d − − = − = 1− F(a) f x x f x x a ( )d ( )d − − = + f (x)d x . a = 同时得以下计算公式