第三章多维随机变量及其分布第四节相互独立的随机变量一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结概率论与数理统计（第4版）
一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 第四节 相互独立的随机变量 三、小结
3.4相互独立的随机变量一、相互独立的随机变量1.定义设F(x,y)及Fx(x),F(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有PIX≤x,Y≤y)= P(X≤x)P(Y≤y),即F(x,y) = Fx(x)Fy(y),则称随机变量X和Y是相互独立的
一、相互独立的随机变量 1.定义 设F(x, y)及FX (x),FY ( y)分别是二维随机变 量(X,Y)的分布函数及边缘分布 函数. 若对于所有 x, y 有 P{X x,Y y}= P{X x}P{Y y}, F(x, y) F (x)F ( y), = X Y 则称随机变量X 和Y 是相互独立的. 即
3.4相互独立的随机变量2.说明(1）若离散型随机变量（X,Y)的联合分布律为P{X =i,Y = j) = pi, i, j=1,2,...X和Y相互独立P(X =x,Y = y;} = P{X = x;}P(Y = y,},即 Pi, = Pi. P.j°
2.说明 { , } { } { } , i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和Y 相互独立 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = i,Y = j} = p , i, j = 1,2, . ij . pij pi• p• j 即 =
3.4相互独立的随机变量(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则有X和Y相互独立台 f(x,y)=fx(x)fy(y)(3)X 和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立
f ( x, y) f ( x) f ( y). X 和 Y 相互独立 = X Y 边缘概率密度分别为 则 有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y (3)X 和Y 相互独立, 则 f (X) 和 g(Y)也相互独立
34相互独立的随机受量设随机变量X和Y的联合概率密度为F(x,y) =[g(x,y), (x,y) E D,0,(x,y) ± D.其中，g(x,y)为非负函数，且在单连通区域D内恒正（即：g(x,y）=0仅可能在D的边界上成立）.若D不是矩形或者D的边界不平行于任意坐标轴则X和Y必定不相互独立
设随机变量𝑿和𝒀的联合概率密度为 𝒇 𝒙, 𝒚 = ቊ 𝒈 𝒙, 𝒚 , 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫, 𝟎, 𝒙, 𝒚 ∉ 𝑫. 其中，𝒈 𝒙, 𝒚 为非负函数，且在单连通区域𝑫内恒 正（即：𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝟎仅可能在𝑫 的边界上成立）. 若𝑫不是矩形或者𝑫的边界不平行于任意坐标轴， 则𝑿和𝒀必定不相互独立