华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数证明：用数学归纳法。当n=1时，上式显然以是等式的形式成立。假设成立不等式(1+x)"-1 ≥1+(n-1)x,x ≥-1则(1+x)" =(1+ x)"-(1+ x)≥[1+(n-1)x](1+ x)=1+ nx+(n-1)x?≥1+nx, Vx≥-1说明对正整数n伯努利不等式成立。2°柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz)不等式：设x,x2"，；yi，y2，,y，是两组实数，则(圳) (()当且仅当y,=kx(i=1,2,,n)时，等号成立。证明：由含(1+)-(含对)+2(含)+(含)≥0 (VeR)-得判别式A=4(2)-4()(2)30移项便得证。如果x,=ky(i=1,2,.,n），则不等式显然以等号形式成立。反之，如果等号成立，则△=0，上面二次函数（抛物线）有零点（与x有交点），即存在teR使(x,+y)=0，于是y,=-x,=kx,。i=l3°平均值不等式：设X，2，x，是n个正实数，则（几何平均≤算术平均）xxs++.+n当且仅当x，x2，,x都相等时，等号成立。证明：用数学归纳法证明.当n=1时，上式显然以等式形式成立。假设对n-1上式成6中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 证明：用数学归纳法。当 时，上式显然以是等式的形式成立。假设成立不等式 n 1 中国矿业大学数学学院 6 1 (1 ) 1 ( 1) , 1 n x n xx 则 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1) (1 ) n n x x x nx x 1 2 1 ( 1) 1 , nx n x nx x 说明对正整数 n 伯努利不等式成立。 2o 柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式：设 12 12 ,;, , n n x x xyy y 1 是两组实数， 则 2 2 2 1 1 n nn ii i i i ii x y x y 当且仅当 ( 1,2, , ) i i y kx i n 时，等号成立。 证明：由 2 22 2 1 1 11 () 2 n n nn ii i ii i i i ii xt y x t x y t y 0 （t R ） 得判别式 2 2 2 1 11 4 4 n nn ii i i i ii xy x y 0 ) 移项便得证。 如果 ( 1,2, , i i x ky i n ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 0 x 有交点），即 存在 使 t R ，于是 2 1 ( ) n i i i xt y 0 i i i y tx kx 。 3o 平均值不等式：设 1 2 , n x x x 是 个正实数，则（几何平均 n 算术平均） 1 2 1 2 n n n x x x xx x n 当且仅当 1 2 , n x x x 都相等时，等号成立。 证明：用数学归纳法证明.当 n 1时，上式显然以等式形式成立。假设对 n 1上式成
华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数立，现考虑n个正数x,x2，",x，。不妨假设x,是最大的。记A= +++.++-.n-1则X +X +..+X-.X≥A=xx...n-1于是(*+) -( (4*)n≥ A" + nA"-= A" + A"-(x, -A)= A""x, ≥XX2"-X.即++x≥xx.n如果x，x2",x，都相等，则显然等号成立。反之，如果x,x2，,x，不都相等，则上面x>A+x,+..+x.A+-A> A" + nA"n与上完全一样，推得严格不等号成立。推论：设x,x2，,x是n个正实数，则（调和平均≤几何平均）n111<Nxxx+.XX2Xn在平均值不等式中用二换x（i=1,2,,n）即得证。x4°三角函数不等式元sinx<x<tanx,0<x2推论：sinx≤x，其中等号仅当x=0时成立。7中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 立，现考虑 个正数 n 1 2 , n x x x 。不妨假设 n x 是最大的。记 中国矿业大学数学学院 7 1 2 x 1 1 n x x A n 则 1 12 1 12 1 1 n n n xx x n x x x n x A 于是 1 2 ( 1) n nn n nn x x x n n n Ax x A A n 1 1 AAx 1 1 2 ( ) n n n A n n A A x xx xn n n n x A nA n 即 1 2 n x x x n 1 2 n n x x x 如果 , , 1 2 , n x x x 1 2 , n 都相等，则显然等号成立。 反之，如果 x x x 不都相等，则上面 n x A n n 1 2 n n x x x x A A n n n n 1 n x A A nA n 与上完全一样，推得严格不等号成立。 推论：设 1 2 x , , , n x x 是 个正实数，则（调和平均 n 几何平均） 1 2 1 2 1 1 1 n n n n x x x x x x 在平均值不等式中用 1 i x 换 i x （i 1,2, , n）即得证。 4o 三角函数不等式 sin ta x x x n ， 2 0 x 推论： sin x x ，其中等号仅当 x 0时成立
华师大数学分析(第五版)讲义第一章实数集与函数证【见教材P43]1SAOCD <S扇形OAD <SAOABsinx<tanx<222又当x≥时有sinx≤l<x，故对一切x>0都有sinx<x。当x<0时，由2sin(-x)<-x得-sinx<-x。综上，我们又得到不等式[sinx≤x, xe R其中等号仅当x=0时成立4、区间与邻域[一些记号](a,b)会(x[a<x<b),[a,b]≤,(a,b]≤,[a,b)会(a,+0)，[a,+o0)≤，(-0,a)≤，(-80,a]≤，(-00,+00)≤RU(a,8)≤(xx-a<)=(a-8,a+8)U(a,8)=(x0<|x-a<8)=(a-8,a+0)1/a)U.(a,8)=[a,a+8),U'(a,8)=(a,a+8)U.(a,)...,U'(a,)三..U(a),U (a),...U()≤(xx>M)，其中 M 为某个正数U(+0) α,U(-0)...【例1】[P3例2]：设a,beR。证明：若对>0有a<b+，则a≤b。证用反证法。若结论不成立，即a>b。令=a-b>0，于是α=b+%。这与假设对>0成立a<b+相矛盾。从而必有a≤b。8中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第一章 实数集与函数 证［见教材 P43］ OCD 扇形OAD SSS OAB ， tan xxx 2 1 2 1 sin 2 1 又 当 2 x 时 有 1sin xx ，故对一切 都有 x 0 sin xx 。当 时，由 得 x 0 )sin( xx sin xx 。 综上，我们又得到不等式 xx ,sin Rx 其中等号仅当 时成立． x 0 4、区间与邻域[一些记号] a b, {| } x axb ，a b, ，( , a b] ，[ , a b) (, ) a ，[ , a ) ，( , a) ， ， ( ,] a ( , ) R Ua xx a a a (, ) , Ua x xa a a a (, ) 0 , \ U a aa U a aa ( , ) [ , ), ( , ) ( , ) Ua Ua (, ) , (, ) Ua U a ( ), ( ), U xx ( ) M ，其中 M 为某个正数 U U ( ) ,( ) 【例 1】［P3 例 2］：设 。证明：若对 ab R , 0 有 a < + b ，则 。 a b 证 用反证法．若结论不成立，即 a >b ．令 0 a b 0 ，于是 0 a b 。这与假 设对 0 成立a <b 相矛盾。从而必有a b 。 中国矿业大学数学学院 8