线性代载教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 第四节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结 第1项
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第1页 第四节 线性方程组的解 一、线性方程组有解的判定条件 三、小结 二、线性方程组的解法
线性代数故程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 一、线性方程组有解的判定条件 问题：如何利用系数矩阵A和增广矩阵B的秩， 讨论线性方程组Ax=b的解， 定理1n元齐次线性方程组Amx,x=0有非零解 的充分必要条件是系矩阵的秩R(A)<n. 证必要性.设方程组Ax=0有非零解， 设R(4)=n,则在A中应有一个n阶非零子式Dn,从而 Dm所对应的n个方程只有零解（根据克拉默定理） 第2项
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第2页 ( ) . 1 0 R A n n Am n x = 的充分必要条件是系数矩阵的秩 定 理 元齐次线性方程组 有非零解 一、线性方程组有解的判定条件 讨论线性方程组 的解． 如何利用系数矩阵 和增广矩阵 的秩， Ax b A B = 问题： 证 必要性. ( ) , , 设R A n 则在A中应有一个n阶非零子式Dn = D 所对应的 n个方程只有零解 (根据克拉默定理 ), n 从而 设方程组 Ax = 0 有非零解
线性代数赦程第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 这与原方程组有非零解相矛盾， .R(A)=n不能成立.即R(A)<n, 充分性.设R(4)=r<n, 则A的行阶梯形矩阵只含r个非零行， 从而知其有n-r个自由未知量. 任取一个自由未知量为1，其余自由未知量为0， 即可得方程组的一个非零解 第3页
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第3页 这与原方程组有非零解相矛盾， R(A) = n 不能成立． 即 R(A) n. 充分性. 设 R(A)= r n, 从而知其有n - r个自由未知量. 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解. 则 A的行阶梯形矩阵只含r 个非零行
线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 定理2n元非齐次线性方程组Amxn x=b有解 的充分必要条件是系矩阵A的秩等于增广矩 阵B=（A,b)的秩 证 必要性.设方程组Ax=b有解， 设R(A)<R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程0=1， 这与方程组有解相矛盾因此R(A)=R(B)】 第4项
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第4页 证 必要性．设方程组 Ax = b 有解, 设R(A) R(B), 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程０＝１， ( , ) . 2 阵 的 秩 的充分必要条件是系数矩 阵 的秩等于增广矩 定 理 元非齐次线性方程组 有 解 B A b A n Am n x b = = 这与方程组有解相矛盾.因此 R(A)= R(B)
线性代教教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 充分性.设R(A)=R(B), 设R(A)=R(B)=r(≤n), 则B的行阶梯形矩阵中含r个非零行， 把这？行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量， 其余n-r个作为自由未知量， 并令n-r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解 证毕 第5页
线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第5页 并令n - r个自由未知量全取0， 即可得方程组的一个解． 充分性. 设 R(A)= R(B), 设 R(A)= R(B)= r(r n), 证毕 则 B的行阶梯形矩阵中含r 个非零行， 其余 n - r 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, r