类似地，如果极限 lim △，2-lim f(x,%+△y)-f(x,y0) △y→0 △y △y→0 △y 存在，则称此极限为函数z=f化，y)在点化y)处 对y的偏导数，记为 8z 涵 ，2,(0%)f(0) (x%) dy (xoYo) -秋私 Ox af ay x=X0 X=X0 ay x=x0 y y=Jo y=Yo y=Yo
类似地，如果极限 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim y y y z f x y y f x y → → y y + − = 存在,则称此极限为函数 z = f (x, y)在点(x0 , y0 )处 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , , ( , ) y x y x y z f z x y y y 0 0 ( , ) y f x y 对 y 的偏导数，记为 0 0 y y y x x z = = 0 0 y y y x x f = = 0 0 y y x x y z = =
当函数z=f化，Jy)在点化y)处同时存在对x和y的偏 导数时，则称函数=fx,y)在点(y)处可偏导 如果函数=f化，y)在某平面区域D内每一点K,y) 处都存在对x或y的偏导数，那么这时偏导数仍然 是x,y的函数，称它们为函数z=f化，y)的偏导函数， 涵 记作 x,f(x,y) 8x 极极 高 ,f(x.y)
当函数z = f (x, y)在点(x0 , y0 )处同时存在对x和y的偏 如果函数 z= f (x, y)在某平面区域D内每一点(x, y) , , ( , ). y y z f z f x y y y , , , ( , ) x x z f z f x y x x , 导数时，则称函数z=f (x, y)在点(x0 , y0 ) 处可偏导. 处都存在对x或y 的偏导数, 那么这时偏导数仍然 是x, y 的函数,称它们为函数 z= f (x, y)的偏导函数, 记作
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数u=f(x,Jy,)在(x,y,z)处 (x,y,)=lims f(x+Ax,y,z)-f(x,y,z) △x→0 △x f(x,y,z)=lim- f(x,y+Ay,)-f(x,y,z) △y-→0 △y f(x,y,z)=limI(x,Y,z+A)-f(x,y,z) △z→0 △z
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如三元函数 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x + − = → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y + − = → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z + − = →
由偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏 导数并不需要新的方法.例如，若求f(x,y)关于x的 偏导数，只需把y看成常数，f化，y)则为x的一元函 数，关于x求导即可.这样，一元函数的求导公式和求 凝 导法则都可移用到多元函数的偏导数计算中来. -秋私
由偏导数的定义可以看出，计算多元函数的偏 导数并不需要新的方法. 例如，若求f (x, y)关于x的 偏导数，只需把y看成常数，f (x, y)则为x的一元函 数, 关于x求导即可. 这样，一元函数的求导公式和求 导法则都可移用到多元函数的偏导数计算中来
之例1求zx+x-y在(1,2)处的偏导数. y 解法一把y看成常数，对x求导，得 =3xr2+1 8x y 把x看成常数，对y求导，得 az X 凝 ay 2-2y y 将x=1,y=2代入以上两式得 Oz 17 x 2 4 (1,2) 1,2)
解法一 把 y 看成常数，对x 求导，得 2 1 3 ; x x y = + z 把 x 看成常数，对y 求导，得 2 2 x y y y = − − z 例1 ( ) ( ) 1,2 1,2 7 17 , . x y 2 4 = = − z z 将x =1，y=2代入以上两式得 3 2 x z = x + - y y 求 在(1,2)处的偏导数