王 王定理设A,是对称矩阵的两个特征值n 19 P2是对应的特征向量若≠2,则1与2正交 证明A1n1=41,2n2=42,A≠2, A对称,A=Ar, 41n1=(1n1)=(41)=n1A=n1A, 于是A1n1P2=n142=n1(2n2)=2n1n2 25 → (1-2)nP2=0 ≠12,∴P1P2=0.即p1与2正交 王页下
, , . 3 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1 2 A , A A , T 对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T = = , 2 1 p2 p T = ( ) 0. 1 − 2 p1 p2 = T , 1 2 . p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T
642、实对称矩阵对角化的方法 定理4设A为n阶对称矩阵则必有正交矩阳P,使 P+AP=A,其中A是以4的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 王证明设4的互不相等的特征值为,,… 它们的重数依次为2,(+++= 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定 理3(如上)可得: 上页
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为 6.4.2、实对称矩阵对角化的方法