那么5-5≤bn-an→0.即5=51，惟一性得证. 推论设{an,bn}是一个区间套，5∈an,bn, n=1,2,.则任给e>0,存在N,当n≥N时， la,b,IU(S;8). 证由区间套定理的证明可得： lima,limb,=5. n→0 由极限的保号性，对于任意正数ε，存在N, 前页 返回
前页 后页 返回 证 由区间套定理的证明可得: lim lim . n n n n a b → → = = 由极限的保号性, 对于任意正数 , 存在 N, 1 那么 − − → 1 b a n n 0. 即 = , . 惟一性得证 [ , ] ( ; ). n n a b U n = 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时, 推论 设 {[an ,bn ]} 是一个区间套, [ , ], n n a b
当n≥N时，有 5-8<an,bn<5+e. 即5-&<an≤bn<5+e,这就是说 [an,bnJc(5-6,5+8). 注1该推论有着很强的应用价值，请大家务必牢记. 注2区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结 论不一定成立.例如对于开区间列 显然 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 n n [ , ] ( , ). a b − + 注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 1 0 n ， 当 时 有 n N , , . n n − + a b n n 即 − + a b , 这就是说
(=12 2日小 但是定理1中的5是不存在的，这是因为 =2 读者可以反思一下，对于{》 按照定理1的 证明过程，哪一步通不过？ 前页 返回
前页 后页 返回 但是定理1中的是不存在的, 这是因为 1 1 0, . n n = = 证明过程, 哪一步通不过? 1 1 1. 0, 0, , 1, 2, , 1 n n n = + 1 2. lim 0 0. n→ n − = 1 0 , 1 n 读者可以反思一下,对于 ， 按照定理 的
作为区间套定理的应用，下面来证明柯西收敛准 则，即证明数列{}收敛的充要条件是：对任意的 e>0,存在N,当m,n>N时，有n-am<ε. 证（必要性）设iman=A,由数列极限的定义， n-00 对于任意正数&，存在N>0,m,n>N时，有 a,-4至a小 因而有an-am<n-A+am-A<&. 前顶
前页 后页 返回 对于任意正数 存在 时 有 , 0, , , N m n N . 2 , 2 an − A am − A n m n m 因而有 a a a A a A − − + − . 作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准 则,即证明数列 {an } 收敛的充要条件是: 对任意的 证 (必要性) lim , , n n a A → 设 由数列极限的定义 = , , . m n N a a n m > 0, 存在 N, 当 时 有 −
(充分性)由题设，对于任意ε>0，存在N,n≥N时， an-aw<&.即当n>N时，an∈(aw-&,aw+8) (注意：这并不能说明iman=aw) f十 Mw-￡MNLN+8 令e=2存在N,n≥N时，aea-2av,+》 取aA日4,4，+令6=2存在 前页 返回
前页 后页 返回 1 1 1 1 1 1 1 , , ( , ), 2 2 2 N n N a a a n N N 令 = − + 存在 时, 1 1 1 1 2 1 1 1 [ , ] [ , ]. , 2 2 2 N N 取 a b a a = − + = 令 存在 . , ( , ). n N n N N a a n N a a a − − + 即当 时 ( : lim .) n N n a a → 注意 这并不能说明 = ( ) 充分性 由题设 对于任意 存在 时 , 0, , , N n N N − a aN + aN x