例2 121 求矩阵A=231 的秩。（满秩矩阵） 471 ·A的3阶子式只有一个A, 解 且A≠0， .R(A)=3
例 2 求矩阵 的秩。 = 4 7 1 2 3 1 1 2 1 A 解 A 的 3阶子式只有一个 A， 且 A 0， R(A) = 3. (满秩矩阵)
设n阶可逆矩阵A, A≠0， ∴.A的最高阶非零子式为A, R(A)=n, 可逆矩阵的秩等于阶数n,故称可逆矩阵 为满秩矩阵 不可逆矩阵的秩小于其阶数，故称为降秩矩阵
设n阶可逆矩阵 A， A 0, A的最高阶非零子式为A, R(A) = n, 为满秩矩阵. 可逆矩阵的秩等于阶数n，故称可逆矩阵 不可逆矩阵的秩小于其阶数n,故称为降秩矩阵
210 3-2 031 例3求矩阵B= -25 000L4-3 的秩 0 00 0 0 解.B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有行， .B的所有4阶子式全为零. 2-13 而03-2≠0，.R(B)=3. 00 4
例 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩 − − − − B = 解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3− − 而 R(B) = 3
一个行阶梯形矩阵的秩正好等于其非零行 的行数，即等于此阶梯形矩阵的阶梯的个数。 问题： 任何A,总可经过有限次初等行变换化 为与其等价的行阶梯形矩阵A,而行阶梯形矩 阵秩很容易求，那么，R(A)=R(A)?
一个行阶梯形矩阵的秩正好等于其非零行 的行数，即等于此阶梯形矩阵的阶梯的个数。 问题： ( ) ( )? , R A R A A Am n = 阵秩很容易求，那么， 为与其等价的行阶梯形矩阵 ，而行阶梯形矩 任何 总可经过有限次初等行变换化
w 求该矩阵的秩。 解 由矩阵秩的定义，A的3阶子式有4个， 13 -2 13 2 3 -2 2 02-1=0, 0 23=0, 2-1 3=0, -201 -2 0 015 -2 0 -1 3=0,而 1 3 =2≠0，.R(A=2. -2 1 5 0
例4 已知 ，求该矩阵的秩． − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3 而 = 2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 由矩阵秩的定义，A的3阶子式有4个， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = 0, = 0, R(A) = 2