《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 傅里叶变换 7.3 傅里叶变换的性质

例题6：求下列函数的傅里叶逆变换 1 F(o)= B>0,k>0. B+iko 4.微分性质 ()导函数的像 若lim.f(t)=0,则F(f(t)=joF(f(t) 般地，若1imf(t)=0(k=0,12.n-1),则有 F(fm(t)》=(jo)”F(f(t)

   jk F + = 1 ( )   0,k  0. 例题6:求下列函数的傅里叶逆变换. 4.微分性质 (1)导函数的像 lim ( ) 0, ( ( )) ( ( )) ' f t F f t j F f t t = =  →+ 若 则 一般地,若 lim ( ) ( ) = 0( = 0,1,2 −1),则有 →+ f t k n k t  ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) F f t j F f t n n = 

(2)像函数的导数 dF(o)=FL-jf】 d 地，有Fo=爪-mf01=(rFrf1 一 注意： 当f(t)的傅氏变换已知时，可用来求t”f(t)的傅氏变换 F re 例题7：求下列函数的傅里叶变换

F( ) F[ jtf(t)] d d  = −  F( ) F[( j t) f (t)] ( j) F[t f (t)] d d n n n n n  = − = −  [ ( )] ()  F d d F t f t j n n n n = (2)像函数的导数 一般地,有 注意: 当f (t)的傅氏变换已知时,可用来求t f (t)的傅氏变换. n 例题7:求下列函数的傅里叶变换

Jt"e,t≥0 其中B>0. 0,t<0 解：由微分性质可得 Frf1=”4Fo do" Ff(t川= B+jo Fl"f()-j"do"B+jo d"1

     = − 0, 0 , 0 ( ) t t e t g t n t 其中  0. 解:由微分性质可得 [ ( )] ()  F d d F t f t j n n n n =      = − 0, 0 , 0 ( ) t e t f t t  j F f t + = 1 [ ( )] d  j d F t f t j n n n n + = 1 [ ( )]

5积分性质 设g()=nf(t)dt,若1mg)=0,则有 FlgO-1FfOol io 证明：由于g(t)=f(t),根据微分性质有 FIf(-FIg(-joFI(FIg()-Ff( 例题8：求解积分微分方程 ax (t)+bx(t)+cx(tdt =r(t)

− →+ = = t t 设g(t) f (t)dt,若 lim g(t) 0,则有 [ ( )] 1 [ ( )] F f t j F g t  = 证明:由于g ' (t) = f (t),根据微分性质有 [ ( )] [ ( )] [ ( )] ' F f t = F g t = jF g t [ ( )] 1 [ ( )] F f t j F g t  = 5.积分性质 例题8:求解积分微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ax t bx t c x t dt r t t + + = −