22 本章七、乘方和指数中所列举的幂的运算法则,是用特 殊的数推导一般法则。如果一旦发生疑问,举个实例常可立 刻见效。很容易看出 (a3)2=a3×a3=a×a×a×a×a×a=a°=a32 其一般形式 实践证明;对有疑问的代数公式,用实际数字检验比用 字母符号检验更有意义。 错误的解释 常见的错误是引入或省略括号,这样就会改变代数式的 意义。例如 2x2和(2x)2并不一样。 因为 2x2=2·x·x (2x)2=2x·2x=4x2 当利用乘方的展开式时,这一点特别重要。如: (x÷Y)3=X3+3X2Y+3XY2+Y8 就象 (2x+5g)=(2x)3+3(2x)2×(5y) +3(2x)(5y)2+(5y)3 =8x3+60x2y+150xy2+125yi 注意在上例中,用2代替x,因此x2必须理解成(2x)2 而不是2x2 另外有两种时常发生的错误,必须引起充分注意 lagx"与(logx)"并不一样。 如果我们在头一个函数里加个括号,就容易说明问题。 即 log(x)"≠(logx)" log(x)”= mioga 以致 log(x)≡(logx) 错误
就等于说 logo≡(logx) 错误 或 na= a 错误 (因为我们总可以求得一个数A,使它等于log)最 后一种形式显然是荒谬的。它错误地指出,乘以m恒等于出 现m次方,即 Am=i" (在实数中,2·3恒等于23,即6恒等于8,这个恒 等式的错误是最明显的。) 我们引用了恒等符号[≡],意思是恒等于。含意是不仅 仅在指定变量是特殊值时,而是当交量取任何许可值时,等 式都成立。例如: logx”≡ logo对于x任何值都成立,而x+2=5 只有当x等于-3时成立。 最后,我们再一次明确指出:e和x°不是同一个函数。 在学习第七章和第八章微分法时,我们仅知道这种对换 是流行的,但却是错误的。如果我们选取任何一个数而不是 e(e的算术值是2.718……很特殊,有点神秘感),其差别 可能更清楚一些。例如: 3·并不是x3 3·3·3…) (x·x·x) 项 3项 二次方程的解 最后希望读者高度重视应用广泛的二次方程求根公式。 如果ax2+bx+c=0 那么x=二b±vb一4ac 2a 初学者稍不注意,就会在解只含有三个系数的多项式的 方程时,错误引用这个公式。例如:在解三次方程
24 ax3+6r2+c=0 不能利用这个公式。还应该说明的是,如果能够通过代 换法把高次方程化成二次方程,便可以应用这个公式。 如: ax4十bx2+c=0 设 X 得出: aX2+bX+c=0 这样,就可以利用公式()解出X(因而求得x)。或者 假如 +oxter 那么,x是各项的公因子(因此x=0是方程的根), 求得 I(a+brtc)=o 6x+c=0 我们再进一步利用公式(i求出其余两个根。 二十、基本习懸 基1.1用<、>、≤、≥、符号改写 (a)z不大于300 (b)x最大到10 c)x比15大,但不到28 (d)x不比150大,但至少是96 (e)x不比50小,但不大于150 基12计算下列各式: (a)3|4-5+3|4+3({4-|-5) (b)3×2+6/2×7+4 (c) 3-〔-3-(4-5)-2-7 -(-1)]-1 基13将下列不等式化成最简式 Ca) 1<1
b)x+z≤2+(y-2+x) (c)3(x-2)+4(1-x)≤-3 基1.4求出下列各数的平方根 0.04,0.4,0.00004,4,000.40,000,40 基15求出下列各数的立方根 0.027,27,27,000,0.008,8,000 基1.6计算或化简: a)(273×32x812) (b)(43×23×64 (d)(a+y 〔e)xy·(x2 (f) 基1.7用对数计算: a)0.37/0.002 (d)(0.78/0.0084) (b) 000 (e)%0.08361 c)(0.99)19 f)(3.0149×4.213)0 基1.8若x:=-3,x2 4,4=2的计算 (a) (c) ()∑(x;+1)(d)∑(4x2+ 二十一、中级习题 中1.1用数学记号改写 (a)z不大于5且不小于2
26 b)y大于之,而z大子6,但y和2都小 于12 (c)x最小是20,且最大是80 中1.2计算 6 -3)-(-1) (b)⊥-6(2+3)+5 4-8∫ (c) (6-3)(4+1) 6-(3+4)+1 (d)(2×(2-6)+9×4(4-2)/1 (e)4-3/6×2+5 中13解下列等式和不等式 (a)2x-3(x-1)=4(2x+1)-19 b)2(x+2)-3(2x-1)<3(2-x) (c)4(3x+7)≥(x+12)-4(x-4) 中1,4计算 〔a)4 (d)22×2 (b)4 e)103×102×103 c)4(f)16/16 中15求下列各数的平方根: (a)0.8 (d)20,000 b)0.000081 (e)0.000000002 (c)8.1 中16用对数计算 a)24.8的立方根 〔b)0.0028的四次方根