五.行列式按行(列)展开 对于三阶行列式,容易验证: 12 13 22 23 21 23 21 23 22 23 11 12 13 33 33 33 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题:一个n阶行列式是否可以转化为若干个n-1阶行列式 来计算?
1 五. 行列式按行（列）展开 对于三阶行列式，容易验证： 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个n－1 阶行列式 来计算？
定义1:在n阶行列式中,把元素a:所在的第i行和 第j列划去后,余下的n-1阶行列式叫做元素 的余子式。记为M 称A2=(-1)Mn为元素an的代数余子式 2 13 14 12 14 例如:D= 21…22……023……24 31 32 34 31 32 34 42 A2=(-1)3M2 2
2 定义1： 在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行和 第 j 列划去后，余下的n－1 阶行列式叫做元素 ij a 的 余子式。记为 Mij 称 ( ) ij i j Aij M + = − 1 为元素 ij a 的代数余子式。 例如： 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23
12 21 23 24 D 33 34 32 34 44 41………42 A2=(-1)+2M=-M1 12 12 13 = A4=(-1)+M4=M4 注:行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式
3 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − = −M12 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( ) 44 44 4 4 A44 = − 1 M = M + 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式
定理1:;行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和,即 D=an41+an21412+…+am1Am(i=1,2,,n) 证明:(先特殊,再一般) 分三种情况讨论,我们只对行来证明此定理。 (1)假定行列式D的第一行除a1外都是0。 D 2n n2
4 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 D = ai1Ai1 + ai 2Ai 2 ++ ainAin (i = 1,2, ,n) 定理1： 证明： （先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 。 n n nn n a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 0 0 =
由行列式定义,D中仅含下面形式的项 (1 112j23j3 z(1,j2 其中(-1)lhya2,a31…an恰是Mn的一般项。 所以,D=a1M1 1+1 11111
5 由行列式定义，D 中仅含下面形式的项 n n j j nj j j j a a a a 2 3 2 3 11 2 3 (1, , , , ) ( 1) − n n j j nj j j j a a a a 2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) 11 ( 1) = − 其中 n n j j nj j j j a a a 2 3 2 3 2 3 (1, , , , ) ( 1) − 恰是 M11 的一般项。 所以， D = a11M11 11 1 1 11 a ( 1) M + = − = a11A11