十五、和武符号Σ( Sigma) Sima是希腊字母S,大写表示数学中求和的运算。 请考虑下列数字 29 具有下标1234和5,读成x-1,x-2,x-3, x-4,x-5。不要与三种相似的表达式混淆 2x读成2-x,表示 x2读成x平方,表示x x2读成x-2,表示在某数目表中的第二个数(如上 面所列)。 我们可以用大写的Σ字母很简练地把上列数字的总和写 成: 21+x2+x:+4+xs=∑x 意思是说,把所有带下标的x,丛下标1到5(包括5) 都取之求和。以下均类似 I,=x,+3.fa +x3+ S(x2+1)=(x3+1+(x2+1)+(x+1) 4x3=(4x2)+(4x3)+(4x8)+(4x8) =4(2+动+x+=4∑2
十六、合理与不合理 在下面几节里我们试图培养读者能润察计算和运算中的 数学错误和欠考虑之处。把正误语句都编印在一起,很可能使 人牢记错误的,反而冲淡正确的语句。但是作者认为这样做 是有份值的。因为若仅限于讨论允许怎样做,便可能疏于防 止那些虽属非法却能诱使初学者发生错误的运算。因此在以 下几节中,对数学上不应该做的,作一些说明。为减少风 险,防止粗心大意者不加批判地吸取错误,对所有错误的话 句,一律给予明确的标记 十七、近似计算 在当前电子计算机的时代,对于一个问题的解答要求尽 可能精确。首先我们要讲清精确度和准确度两个概念。 精确度是关于精密程度的等级,可以用已知数字小数点 多少位来表示。下面是同一个人的三个身高,是逐渐增加精 确度的描述 18米1.832米18324578米 准确度表示在规定精确度的范围内度量是否正确。一个 人的真正的身高可能是1.784米(精确到三位小数),上面 列举的一组数字便失去价值了。 因此,准确度问题常和我们是否正确运用度量工具有关 系。例如钟表走时是否准确,米尺长度是否标准等。精确度 说明我们丛度量工具上读出的读数精确到什么程度,例如时 钟可以读到秒,米尺可以读到一毫米。 因此,算术运算的结果应该反映出原始数据的精确度 此外,我们还应该重视误差的合成(注意由于引用不精确的 数字会产生隐含的误差)。假设ABC等等是参与计算的 组数字,相应的abC表示有关的误差(或可能的最大误 差)
如果士B-C 那么 b2=c2 这样已知A、B的误差,就能求出C的误差大小。 例如 A=1,42 a=0.01) B=0.091(b÷0.001) C=A+B=1.42+0.091 C=1,511 但是c2=(0.01)2+(0,001)2÷0,000101 C÷0,01 应该注意的是,在加法(或减法)中,绝对值最大的误 差是至关重要的。这个结论说明,无论用什么形式给出C, 精确度超过C=1.51总是过于乐观的想法。 对于乘法,假设 D×E=F 那么\D 在这种情况下,棉对误差的平方相加,例如; D=1.42 (d÷0.G1 E=0 (e÷0.01 F=D×E=1.42×0.09 F=0.1278 00112 l,4 0.09)=0.0123 F 0.111 9 应该注意的是在乘法(或除法)中,相对值最大的误差 至关重要。虽说两个绝对误差d和e相等,但是E的相对误 差更加重要得多,是F误差中的主要组成部分
事实上F=F 大约11%) 因此,应该引用的F在形式上不可比。 F=0.13更精确 读者可能要问:abd和e的值从何而来呢?是来自 ABDE四个数的特定精确度。因为A=1.42,我们已经假 设这三位数并且只有这三位数是精确的,对于这个数我们的 最大怀疑(换言之,就是可能的最大误差)是0.01,即小数 点后第二位的1,其它数也如此。如果这个假设是错误的, 我们实际上知道A更为精确,因而我们所计算的c就要重新 订正。 例如:事实上A=1.420000 那么至多a=0.0001,这样就会影响C。 小结 我们的解释是相当详细的。但是,在实用中,估算精确 度能够相当迅速。为举例说明这一点,请看下列计算 312×(0.12+4.1 (161+94.5)×0,0017243294.325 如果已知的数字都是精确数字,那么我们便可以估计X 的精确度。 (0.12+4.1)的误差近似于0.1或2% 312 的误差近似于1或0.3% (161+94,5) 的误差近似于1或0,4% 0.0012 的误差近似于0.0001或8% 在最后的乘法和除法运算中,相对误差要合成,其中最 大的显然是8%因此,如果我们知道原始数字都是精确 的,我们所引用的x就不应该比x=4,300更精确(白于我 们实际指定的精确度咯大于2%,因此3这个数稍大一
16 些)。 小数的舍、人 当数字或小数舍、入时,要特别重视要舍去的头一个有 效数字,如果它介于0与4(包括4)之间,则前面保留的 最后一个数宇不变。要舍去的头一个有效数字若介于5和9 (包括5和9),则最后保留的数宇要增加1个单位。例 如 18324578顺序舍、入后,变成 1.832458 1.83246 1.8325 1.833 1.83 1.8 十八、电算器 当使用电算器进行复杂运算时,谁能做到下列两点必将 大有成效。 (1)计算胜利完成,取得正确答案 2)计算迅速且精确度高,具有高效率。 如果谁能掌握速算的技巧,能估算出答案的正确数量 级,便能在一定程度上满足前一个条件。如果能按简捷合理 的步骤进行运算,就能满足后一个条件。在这一节里,我们 将从这两方面来论述。假设所使用的是最基本型的计算器, 能运算十 x、了 x2、、ψx,并且有简单的存储 装置。 快速估算 迅速估算的艺术在于降低精确度并简化计算。例如,取