7 就必须认为乘方与求四次根的意义完全相同。所以 关于根号v还应该进一步指出:由于(+5)2=25 而且(-5)2=25,因此25的平方根有两个值:+5和-5 但是,为避免混淆不清,我们约定用v表示正根,并明确地 引用双重符号。 例如 士25=士5 十一、十的幂 因为(ab)3=(a×b)3 (a×b)×(a×b)×(a×b) (a×a×a)×(bxb×b)=a3 般地,(ab)"=a"b,并且同样的(ab) b 因此 这个结果是非常有用的,因为在求方根之前,我们可以 把复杂的数目字写成指数形式 10=10 10~1=0,1 102=100 10-2=0.01 103=1,000 10-3=0.001 104=10,000 10-4=0.0001 这样便可以用下列方法表示很大或很小的数字 35,921=3.5921×10
8 67,124,396=6.7124396×107=67.124396×10° 0.000031=3.1×10-5=31×10 0.000296=2.96×10 中间列是指数形式。右边列把它调整为10的偶次幂乘上 个介于1和99之间的数。这种形式非常便于开平方。例 如 v67,124,396=v67.124396×10 67,124396×1106 =8,193×103=8193 vo.000296=12,96×104 96 10 1,72×102 0.0172 注意110 100)2=10 和v10 (10-4) 10 2 同理,在开立方时,我们要使10的幂指数能被3整除。 例如 10 10-09=10 十二、对数 8=23又16=24 如果我们把2叫做底,那么必须把底乘3次方才能得出 8,乘4次方才能得出16 我们可以用下列方法定义对数r 2 16 (注意,下标2表示我们选取的底)。现在 8×16=128但同时23×24=27 即3+4=7或log28+log216=log2128
9 因此,我们可以用两个数的对数相加来代替这两个数 (8和16)的乘法,然后再用反对数求出乘积。由于加法运 算比乘法容易,因此经常采用对数进行计算 其全过程如下 8×16=? 原始的问题 但1og28=310g216=4查对数表(底2) 3+4=7 加法运算 Antilog (7)=128 查反对数表(底2) 因此8×16≈128 解题完成 有两种底时,常被选用(不常用2作底) (i)e≈2.718 自然对数即纳伯尔对数 (i1)10 以10为底的对数 在计算中经常选用以10为底的对数,故称常用对数。例 如 g102=0.3010 log,00. 2 3010 log1o20=1.3010 log;0.02=2.3010 log:0200=2.3010 log140.002=3.3010 这里2,即横号2意思是指对数的小数部分是正的,而 整数部分是负的,更确切地说 2.3010=-1,6090 但是,在对数计算中,保留2.3010的形式比较方便 当选用e为底时〔自然对数),经常使用替换记号: log2x或1n 为简便起见,常用对数的底10,时常省略。 x意指】 十三、对数与乘方
10 乘方和开方时,常使用对数。例刘 23= Antilog(3×0.3010)= Antilog(0.9030)=8.0 因为iog102=0.3010或 /0.008303-7现在log0(0.008303) =3.9192 9/0.008303=(0.008303) = Antilog(3.9192× = Antilog[(6+3.9192) Antilog 1 6532) =0.4500 十四、对数的运算 如果A=n°且B=n,根据对数定义 a=log,A且b= log B(任意底m) 这是很多对数法则的基本步骤。 (i)log, AB=log x A+log, B 证明:AB=n"nb=n°+b ∴a+b=log。AB(根据对数定义) 但是a+b= log nA+ log B a+6=log AB= log, A+ log, B (i)1ogn(=log,A-1ogB(证明与(i)类似) (iii)log. A=mlog A 证明A=n°,因此A 7 ∴am=log。(A")(根据对数定义) 但是 log,a
11 ∴am= mlog. A=logn(A") 对数函教的图象 y=n和x= log, y是两个等效语句,因此它们的图象 形状相同。函数y=n的图象,或逆时针旋转90°,再反射在 x轴,或反射在直线y=x,都可以求得函数x= lon, y的 图象,见图1-1(a)、(6)。 图1-1〔a)指数形式y=n 图1一1(b)对数形式x=!ogm3