向量组的线性组合 根据第四章定理1我们知道,如果向量a、b∈R3且 b≠0,那么a与b平行的充分必要条件是存在实数 使a=b 又如,设e1、e2、e3是R3的单位坐标向量, 那么由第四章§1的方法,可以得到任意a∈R的分解式 a =ae ta2e2 +a3e3 上述的向量之间的线性关系可以推广为向量组的线性组合 的概念
3 a、b R b 0 a b a b 1 e 2 e 3 e 3 R 3 a R 1 1 2 2 3 3 a a e a e a e 根据第四章定理1我们知道，如果向量 且 ，那么 与 平行的充分必要条件是存在实数 使 ． 、 、 是 那么由第四章§1的方法，可以得到任意 的分解式 上述的向量之间的线性关系可以推广为向量组的线性组合 一、向量组的线性组合 ， 又如，设 的单位坐标向量， 的概念．
定义4设向量组A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数 k1,k2…kn,向量ka1+k2a2+…+knan称为向量组A 的一个线性组合,k,k2…,kn称为这个线性组合的组合 系数 设向量b与向量组A:a1,a2,…,an,如果存在一组数 ,使b=λa1+λ2a2+…+nan,那么向量b 是向量组A的线性组合,这时称向量组b能由向量组 A线性表示 向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组
1 2 m A: a ,a ,,a m k , k , , k 1 2 m m k a k a k a 1 1 2 2 A m k , k , , k 1 2 b 1 2 m A: a ,a ,,a m , , , 1 2 m m b a a a 1 1 2 2 b A b A 定义4 设向量组 ，对于任何一组实数 ，向量 称为向量组 的一个线性组合， 称为这个线性组合的组合 与向量组 ，如果存在一组数 ，使 ，那么向量 是向量组 的线性组合，这时称向量组 能由向量组 线性表示． 设向量 系数． 向量 b 能由向量组 A 线性表示，也就是方程组
xa1+x2a2+…+xnan=b有解 根据第二章§1第四目关于线性方程组解的不同 情况的讨论以及第三章§4矩阵的秩的求法,可以得到 定理1设向量组A:a1,42,,2 b(a1,a2;…,an;b 都是n维向量),记矩阵 A=(a1,a2、,9,x= B=(A: b) 那么下列三个命题等价: (1)向量b能由向量组A线性表示; (2)线性方程组Ax=b有解
x1a1 x2a2 xmam b A am a ,a ,, 1 2 : b a1 ,a2 ,,am ;b n ) 1 2 m A a ,a ,,a m x , x , , x x 1 2 B (Ab) A 有解 根据第二章§1第四目关于线性方程组解的不同 与向 量 都是 维向量) ，记矩阵 ， ， 那么下列三个命题等价： 能由向量组 线性表示； 情况的讨论以及第三章§4矩阵的秩的求法，可以得到． 定理1 设向量组 （1）向量 （2）线性方程组 Ax b 有解； b (
(3)线性方程组Ax=b的增广矩阵的秩 等于其系数矩阵的秩,即 R(4)=R(B) 借助于定理1,我们可以直接使用矩阵的初等 变换来判断向量b能否由向量组A:a,a2,…,an线性 表示,并且在b能由向量组A线性表示时求相关的 组合系数: 记A=(a1,a2,y,m)B=(A:b),对矩阵B 施行初等行变换,使它变成行阶梯形矩阵B
Ax b RA RB b A am a ,a ,, 1 2 : b A ( ) 1 2 am A a ,a ,, B Ab B B1 （3）线性方程组 等于其系数矩阵的秩，即 借助于定理1，我们可以直接使用矩阵的初等 能否由向量组 线性 能由向量组 线性表示时求相关的 ， ．对矩阵 施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵 ． 变换来判断向量 表示，并且在 组合系数： 记 的增广矩阵的秩
比较R(4)与R(B)·如果R(B)≠R(4),那么向量b 不能由向量组A线性表示;如果R(4)=R(B),那么向量b 能由向量组A线性表示.继续对B1施行初等行变换 使它变成行最简形矩阵B·此时,矩阵B2的最后一个 列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示,它的 组合系数就是向量b关于向量组A的组合系数 例4设n维向量空间R的向量组E
RA RB RB RA b A RA RB b A B1 B2 B2 b A 比较 与 ．如果 ，那么向量 不能由向量组 线性表示；如果 ，那么向量 能由向量组 线性表示．继续对 使它变成行最简形矩阵 ．此时，矩阵 列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示，它的 关于向量组 的组合系数． 施行初等行变换 的最后一个 组合系数就是向量 n n 例4 设 维向量空间 R 的向量组E ： 0 0 1 1 e 1 0 0 , , 0 1 0 2 n e e ，