afafaf注(1)cos βcos α +alaxay其中cosα,cosβ为l方向的方向余弦即为l的单位向量,α、βε[0，元]是I 的方向角(2)计算方向导数只需知道I的方向及函数的偏导数，(3)在定点P(xo,Jo)的方向导数为afafafcosBcos α +alOx/PoOyPP(4) 关系可微方向导数存在二偏导数存在
注 cos cos y f x f l f + = 其 中cos,cos 为l方向的方向余弦, l 的单位向量, 即为 (1) (2)计算方向导数只需知道l 的方向及函数的 偏导数. 在定点 ( , ) 0 0 0 (3) P x y 的方向导数为 cos cos . 0 0 0 P P P y f x f l f + = (4) 关系 可微 方向导数存在 偏导数存在 、 [0， ]是l 的方向角
afafafcos βcosa+alayaxPPP例1 考虑函数 z = xy2,定点Po(3,1), Pi(2,3),求函数在P.沿PP方向的方向导数Ozaz解= 3x2 j2|。= 27,=2x3=541Vay/PoaxPoPoPIPP= V5P,P =(-1,2),2-1cosβ :cosα =J5V5'Oz28127×-54xalV5V5P
例1 考虑函数 定点P0 (3,1), P1 (2,3).求 函数在 P0沿 方向的方向导数. 解 2 54 0 3 = P x y , 3 2 z = x y P0 P1 = P0 x z 3 27, 0 2 2 = P x y = P0 y z | P0 P1 |= 5 , 5 1 cos − = 5 2 cos = = P0 l z 5 81 5 2 ) 54 5 1 27(− + = cos cos 0 0 P0 P P y f x f l f + = = (−1,2), P0P1
例2求函数f(x,y)=x2-xy+y在点(1,1)沿与与x轴方向夹角为α的方向射线的方向导数并问在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值;(2)最小值；(3)等于零？解由方向导数的计算公式知af= fr(1,1)cosα + f,(1,1)cos βal. f.(1).os a+ ,(,1)sina=(2x - y)l1,1) cosα +(2y -x)l(1,) sina= cosα + sinα= ~2sin(α +"afafafcos βcosaα+alayaxPPoP
解 = (1,1) l f 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin (1,1) (1,1) = x − y + y − x (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 并问在怎样的方向上此方向导数有 例2 求函数f (x, y) = x 2 − xy + y 2在 点(1,1)沿 与 与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数. = f x (1,1)cos + f y (1,1)sin = cos + sin ) 4 2sin( = + cos cos 0 0 P0 P P y f x f l f + = f x (1,1)cos + f y (1,1)cos