《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-7 第七节 方向导数与梯度

当函数f(x,J)在点P(x,y)的偏导数fx,f存在时，函数f(x,y)在点P(x,y)沿x轴正向e=(1,0)的方向导数存在,且值为f.事实上，aff(x+4x,y)- f(x,y)) = f.(x,y),limai4x4x-→>0+同理,函数f(x,J)在点P(x,y)沿y轴正向e,=(0,1)的方向导数存在，且值为f..事实上aff(x,y+4y)- f(x,y)2= f,(x,y),limaj4y4y-→0+

事实上, x f x x y f x y i f x    ( , ) ( , ) lim 0 + − =   → + f (x, y), = x 的方向导数存在, 事实上, y f x y y f x y j f y    ( , ) ( , ) lim 0 + − =   → + f (x, y), = y 当函数f (x, y) 函 数f (x, y)在 点P(x, y)沿x轴正向 e1 = (1,0) . x 且值为f 同理, 函 数f (x, y)在 点P(x, y)沿y轴正向 2 e = (0,1) 的方向导数存在, . y 且值为f x y 在点P(x, y)的偏导数 f , f 存在时

函数f(x,y)在点P(x,y)沿x轴负向(-1,0)aff(x+Ax,y)-f(x, )= -f(x,y),linai4r-→0-Ax函数f(x,y)在点P(x,J)沿y轴负向(0,-1)aff(x, y+Ay)- f(x,y)= -f,(x, ).linaj- AyAy-→0(afafafafafaf或当或反之，存在时(ayaiaxaiajaj.是否一定存在

=  if =  jf x f x x y f x y x −  +  − → −  ( , ) ( , ) lim0 y f x y y f x y y −  +  − → −  ( , ) ( , ) lim0 f ( x, y), = − x ( 0 , − 1 ) f ( x, y). = − y 函 数f (x, y)在 点P(x, y)沿x轴负向 (−1,0) 函 数f (x, y)在 点P(x, y)沿y轴负向 反之 , if if   当 或 存在时 , xf  是否一定存在     jf jf 或   yf

aff(x + Ax,y)- f(x, y)limaxAx4x→0例如，函数z=×2+在点(0,0)处沿方向=i的方向导数af_af(4x) + 02 - 0Axlimlim:1alai14x |Ax[4x/→04x→>0+(4x)~ + 0 - 0af4x4Z.但3limlimlimaxAxAxAx4x-→04x-→04x-→>0不存在。即z在(0,0)点的偏导数不存在

例如, 函数 z = x 2 + y 2在点(0, 0)处 沿方向 l i   = 的方向导数   ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f +  +  − =   → =   =   i f l f lim 1, 0 = = → + x x x    但 =   x f , | | lim 0 x x x    → = 不存在. 即z在(0, 0)点的偏导数不存在. | | ( ) 0 0 lim 2 2 | | 0 x x x    + − → x x x    ( ) 0 0 lim 2 2 0 + − → x f x x y f x y x f x    ( , ) ( , ) lim 0 + − =   → = → x zx x    0 lim

充分条件3.关于方向导数的存在定理设z=f(x,J)在点P(x,y)处可微,则函数在该点沿任意指定方向的方向导数都存在，且afaf _afcos β.cos α +alayax其中α、分别为方向与x轴、y轴正向的夹角证由于函数可微，则增量可表示为afaff(x+Axr,y+Ay)- f(x,y)EAr+Ay +o(p)axay两边同除以P,得到

证 由于函数可微, f (x + x, y + y) − f (x, y) = 得到 3. 关于方向导数的存在及计算公式 充分条件 定理 cos cos  . y f x f l f   +   =   设z = f (x, y)在 点P(x, y)处 在该点沿任意指定方向l 的方向导数都存在, 可微,则函数 且 其 中、分别为方向l与x轴 、y轴正向的夹角. 则增量可表示为 y o() y f x x f  +    +   两边同除以 

afafAx +Ay +o(p)f(x+Ax,y+Ay) - f(x,y) :axayafafAxo(p)Ayf(x+ Ax, y+ Ay) - f(x, y)ayaxppPPcos βcos α故有方向导数1ytP'aff(x+Ax,y+Ay) - f(x, y)OlimAyOalp-0paP△rafafcos β.cos α +0xaxay

cos cos  = +  +  −  f (x x, y y) f (x, y) 故有方向导数   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos cos  . y f x f   +   = =   l f f (x + x, y + y) − f (x, y) = y o() y f x x f  +    +       y o( ) y x f x f +     +      y l   • P x • x y O P