OOA0一、多元函数的极值设n元函数的定义域为DiR”，P为D的内点.若存在P的某个邻域定义9.8U(P）iD，对于该邻域内异于P的任意点P，都有f(P)< f (P)(或f (P)> f(P)则称函数f（P)在点P有极大值(或极小值)f(P）类似于一元函数取极值的必要条件，我们可以得到类似的二元函数取极值的必要条件如下：定理9.11设函数z=f（x,y)在点(x.y。)处的两个一阶偏导数都存在，若(xo，y）是f(x,y)的极值点，则有f, (xo, J)=0, f, (xo, y)= 0
定义9.8 定理9.11 一、多元函数的极值
OAA一、多元函数的极值证明若(xo,)是f(x,y)的极值点，固定变量y=Jo，所得一元函数f(x,y)在(xo,y）处同样取得极值：由一元函数极值存在的必要条件可得df(x, yo)= 0dx即f(xo,y。）=0，同样可证f(xo.）=0我们把偏导数都等于零的点（xJ)称为函数z=f（x,y)的驻点定理9.11表明，偏导数存在的函数的极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点如z=xy，点(O,0)是它的驻点，但不是它的极值点
证明 一、多元函数的极值
OO#0一、多元函数的极值定理9.12设函数z=f(x,J)在点(x：)处的某邻域内具有连续的二阶偏导数，且f.(xo,)=0, f(xo,y)=0, 记A= f(xo,yo), B= fru(xo.yo), C= fu,(xo,o)则有()如果B2-AC<0，则f(x,y)在点(xo,y)取得极值，且当A>0时，f(xo,yo）为极小值，当A<0时，f(xo.%)为极大值(2)如果B2-AC>0，则f(x,y)在点(xo,)不取极值(3)如果B2-AC=0，则(x,J)在点(xo,y)可能取得极值，也可能不取极值
一、多元函数的极值 定理9.12
CAA一、多元函数的极值求函数极值的步骤如下：=0（1）计算函数z=f(x,J)的偏导数f,f，解方程组求得驻点(xoy）Y,=0.（2）计算所有二阶偏导数，在每一个驻点（xo.y%)处，记A = fr (xo, yo), B= fu(xo, yo),C = f(xo, yo)利用极值存在的充分条件判断其是否为极值点；（3）计算函数的极值
一、多元函数的极值
O?一、多元函数的极值求f(x,）=3-x2+6x-12+5的极值例
例 一、多元函数的极值