例1 已知f(x)满足f(144)=12,f(169)=13,f(225)=15作f(x)的二次Lagrange插值多项式,并求f(175)的近似值(x-x)(x-x))(x -169)(x - 225)解l,(x)(xo -x)(xo -x2)2025(x-x)(x-x)(x -144)(x - 225)(x)(x, -x,)(x, -x,)-1400(x-x)(x-x)(x -144)(x -169)1(x)4536(x, -x)(xz -x)因此f(x)的二次Lagrange插值多项式为P(x) = yol,(x)+ yil(x)+ yzlz(x)且f(175) ~ P,(175)=12l,(175)+13,(175) +15l,(175)= 13.230 158 73-16-
-16 - ( ) (144) 12, (169) 13, (225) 15 ( ) Lagrange , (175) . f x f f f f x f 例1 已知 满足 作 的二次 插值多项式 并求 的近似值 解 1 2 0 1 0 2 ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x 0 l x( ) ( 169)( 225) 2025 x x 1 l x( ) 0 2 1 0 1 2 ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x ( 144)( 225) 1400 x x 2 l x( ) 0 1 2 0 2 1 ( )( ) ( )( ) x x x x x x x x ( 144)( 169) 4536 x x 因此f x( ) Lagrange 的二次 插值多项式为 2 0 0 1 1 2 2 P x y l x y l x y l x ( ) ( ) ( ) ( ) 且 f (175) 2 P (175) 0 1 2 12 (175) 13 (175) 15 (175) l l l 13.230 158 73
例2用Lagrange线性插值多项式求例1中的f(175)解由于插值点x=175在x，=169与x，=225之间因此取x，=169与x，=225为插值节点Lagrange插值基函数为X-X2x-225x-169x-Xi1,(x)l(x)=-56Xi -X256X,-Xi：Lagrange线性插值多项式为P(x)= yi(x)+ yzl(x) =13. X-225+15.×-16956-56175-169175-22513.21428571+15:: f(175) ~ 1356-56-17-
-17 - 例2 用Lagrange 1 (175). 线性插值多项式求例 中的f 解 1 2 由 于插值点x x x 175 169 225 在 与 之间 1 2 因 此取x x 169 225 与 为插值节点 Lagrange 插 值基 函 数 为 1 l x( ) 2 1 2 x x x x 225 56 x 2 l x( ) 1 2 1 x x x x 169 56 x Lagrange 线 性插值 多 项 式 为 1 1 1 2 2 P x y l x y l x ( ) ( ) ( ) 225 13 56 x 169 15 56 x f (175) 175 225 13 56 175 169 15 56 13.214 285 71
例3若f(x）=/x，三个插值节点为144,169,225，试估计用Lagrange线性和二次插值做f(175)近似值的截断误差3_51解f'(x)=f"(x)=f"(x)=rx2/x84f"()R(x)- 169)(x - 225)2!f"()R,(x(x-144)(x-169)(x-225)3!f"()300: / R (175) /=(175169)(175-225)"()=150F"()211f"(5)]=7S4 *169 *134551500.01706873008648 R, (175)≤:4*169*13-18-
-18 - 例3 若f x x ( ) , 144,169,225 三个插值节点为 ， 试估计用Lagrange (175) . 线性和二次插值做f 近似值的截断误差 解 1 ( ) 2 f x x 32 1 ( ) 4 f x x 52 3 ( ) 8 f x x 1 ( ) ( ) ( 169)( 225) 2 ! f R x x x 2 ( ) ( ) ( 144)( 169)( 225) 3 ! f R x x x x 1 | (175) | R ( )(175 169)(175 225) 2 f 300 ( ) 150 ( ) 2 f f 32 1 1 1 ( ) 4 4*169*13 4 f 1 150 | (175) | 4*169*13 R 0 01706873008648
f"()(175 -144)(175 -169)(175 - 225)[R, (175) 69300"()= 4650|"()2333u2C88*144°*128524650*3: / R,(175) <=0.007007740162048*1442 *12注：利用matlab的函数sqrt(175)，得>> format long>> sqrt(175)ans = 13.22875655532295-19-
-19- 注：利用matlab的函数sqrt(175)，得 >> format long >> sqrt(175) ans = 13.22875655532295 2 | (175) | R ( )(175 144)(175 169)(175 225) 6 f 9300 ( ) 4650 ( ) 2 f f 5 2 2 2 3 3 3 ( ) 8 8*144 *12 8 f 2 2 4650* 3 | (175) | 8*144 *12 R 0.00700774016204
Lagrange插值的Matlab程序%lagrangen.mfunction y=lagrangen(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i-1:mZ=x(i);s=0;for k=1:nL=1;for j=1:nif j~=kL=L*(z-x0(i)/(x0(k)-x0(j);endends=s+L*y0(k);endy(i)=s;endy;-20-
-20- %lagrangen.m function y=lagrangen(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j~=k L=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s; end y; . Lagrange Matlab 插值的 程序