中国矿业大学：《数值分析》课程教学课件（讲稿，研究生）第三章 函数插值

定理2【P63】设f(x)在区间[a,b上n+1阶可微,P.(x)为f(x)在[a,bl上的n次插值多项式插值节点为(x,3= C[a,b],则Vx[a,b],有(+1)()On+(x)R,(x)：(n + 1)!其中 のn+i(x)=II(x-x,), 5e(a,b),且依赖于x.i=0-11-

-11 - 定 理 2 【P63 】 0 ( ) [ , ] 1 , ( ) ( ) [ , ] , { } [ , ], [ , ], n n i i f x a b n P x f x a b n x a b x a b      设 在区间 上 阶可微 为 在 上的 次插值多项式 插值节点为 则 有 ( ) R x n ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! n n f x n       1 0 ( ) ( ) , n n i i  x x x   其 中     ( , ) , . a b x 且依赖于

国Lagrange插值多项式，一个特例已知n+1个不同的插值节点xo,xj，.,x,，求满足如下要求的插值多项式l.(x)。[1(x)=1[l(x,)=0 j=1,2,..,n解l(x)是多项式，且xi,x,,,x,是其根可设l.(x) =a(x-x)(x-x,)...(x-x)1又: l(x)=1,..a :(x。-x)(x。 -x2)..(xo -x,)(x-x)(x-x).(x-x,)x-xT: 1(x):(x -x)(x -x2)..(x -xn) x-x,-12-

-12- 0 1 0 1 , , , ( ) 已知n x x x l x  个不同的插值节点 n，求满足如下要求的插值多项式 。 0 0 0 ( ) 1 ( ) 0 1,2, , j l x l x j n       . Lagrange插值多项式 0 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n l x a x x x x x x     0 0 又 l x( ) 1  ， 0 1 0 2 0 1 ( )( ) ( ) n a x x x x x x      . 一个特例 解 0 l x( )是多项式， 1 2 , , , n 且x x x 是其根  可设 1 2 0 0 1 0 2 0 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) n n x x x x x x l x x x x x x x         1 0 n j j j x x  x x    

>推广l(x,)=1 j=i的插值多项式l,(x)为满足插值条件l,(x,)=0 j=0,1,2,.,n, j+ix-x(x-x)...(x-x,-)(x-xi+)...(x-x,)1.(x) :(x, -x,)...(x, -x-)(x, -xi+)...(x, -x.)o x, -x,jiLagrange插值公式已知a≤x。<x <x, <..<x,≤b及y, = f(x) i=0,1,2,..",n则满足插值条件：p.(x,)= y',,i = O,1,2....n的次数不超过n次的多项式P,(x)为：P,(x) = yol(x)+ yil(x)+ ...+ yl,(x)(x-x,)其中: 1(x)=(i = 0,1,...,n)(x,-x)-13-

-13- 0 0 1 ( ) ( ) ( , , , ) ( ) n j i j i j j i x x l x i n  x x       其中： . 推广 0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x              0 n j j i j j i x x  x x      ( ) 1 ( ) ( ) 0 0,1,2, , i j i i j l x j i l x l x j n j i           满足插值条件 的插值多项式 为 ， . Lagrange插值公式 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ( ) , , , , ( ) , , , ,., ( ) n i i n i i n a x x x x b y f x i n p x y i n n P x           已知 及 。 则满足插值条件： 的次数不超过 次的多项式 为： 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) P x y l x y l x y l x n n n    

V常用的低阶插值公式xXo XiI.线性插值yJo yix-Xox-x: l(x) :l(x) =x-xx-xox-Xox-xi: P(x) = yolo(x)+ yl(x) = Jo+y1X-xoX-Xiy =P(x)Yy =f (x)几何意义：X-14-X1x

-14- 1 0 0 1 ( ) , x x l x x x    1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) x x x x P x y l x y l x y y x x x x          . 常用的低阶插值公式 I. 线性插值 0 1 1 0 ( ) x x l x x x    x x0 x1 y y0 y1 几何意义：

xII.抛物插值Xo Xi X2yo Ji y2(x-x )(x -x2)lo(x) =(xo -x)(xo - x2)(x-xo)(x-x2)l (x)(x - xo)(xi - x2)(x-x)(x-x)l2(x) =(x2 -xo)(x2 -x)):. P(x) = yolo(x)+ yil(x)+ y2l2(x)-15-

-15- x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 ( )( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 2 1 2 0 x x x x x x x x l x      2 0 0 1 1 2 2     P x y l x y l x y l x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 1 2 0 2 1 x x x x x x x x l x      ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 x x x x x x x x l x      II. 抛物插值