例1.设L是一条分段光滑的闭曲线，证明 f 2xydx+x2dy=0 证：现P=2xy,Q=x2,则 0_P=2x-2x=0 Ox Oy 利用格林公式，得 f2xyd+d=∬0drdy=-0 D 格林公式应用：1.化曲线积分为二重积分。 2.化二重积分为曲线积分
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + = xy x x y L 证: 现 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式 , 得 xy x x y L 2 d d 2 + = D 0dx dy = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式应用：1.化曲线积分为二重积分。 2.化二重积分为曲线积分
例2：P216题1(2) (答案8 题7(1) (答案：12) 练习：P217题7(2)，题4 例3：P203题3(4) 机动目录上页下页返回结束
例2：P216题1（2） 题7 （1） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (答案：8） (答案：12） 练习：P217题7（2），题4 例3：P203题3（4）
例4.计算∫（x2+3y)dx+(0y2-x)dy,其中L为上半 圆周y=4x-x2从0(0,0)到A(4,0).(补线法) 解：为了使用格林公式，添加辅助线段AO,它与L所围 区域为D,则 原式=+0（2+3)dx+0少2-刘dy (x2+3y)dx+(y2-x)dy =4j川dxdy-4xd 8π+ 64 8 结
y o A x L 例4. 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0).（补线法） 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO, D 它与L 所围 原式 x y x y x y L AO ( 3 ) d ( ) d 2 2 = + + − + = D 4 dxdy − + + − A O (x 3y) d x ( y x) d y 2 2 − 0 4 2 x dx 圆周 区域为D , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 64 = 8 +
练习1设C为沿x2+y2=a2从点(0，a)依逆时针 到点(0，-a)的半圆，计算 dx+[ax+2yln(x+Va2+x2)]dy cva-+x 解：添加辅助线如图，利用格林公式 原式=Jc+c-Jc "(2ylna)dy C8 1打 下页返回结束
+ − C C C D y o x a − a C 设 C 为沿 x ax y x a x y a x y C d 2 ln( ) d 2 2 2 2 2 + + + + + 2 2 2 x + y = a 从点 (0,a) 依逆时针 (0,−a) 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 . 原式 = − − a a (2y ln a) d y = D 2 2 2 a x y + − d x d y C 到点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 − 0 练习1
刚5计算， 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解： -V P= 则当x2+y2≠0时， 设L所围区域为D, (I).当(0,0)D时，由格林公式知 结
例5. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 0 , 则当x 2 + y 2 时 设 L 所围区域为D, 当(0,0) D时, 由格林公式知 y o x L 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)