83不变因子教学目的掌握行列式因子、不变因子的概念，熟练掌握其求法和应用重点行列式因子、不变因子的求法和应用教学过程现在来证明，入矩阵的标准形是唯一的定义5设-矩阵A()的秩为r，对于正整数k,1<k≤r,，A()中必有非零的k级子式A(a)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D,(a)称为A(a)的k级行列式因子由定义可知，对于秩为r的-矩阵，行列式因子一共有r个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的定理3等价的入－矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为(d,(a)d,(a):d,(a)(1)0:0其中d(a),d,(a),,d,(a)是首项系数为1的多项式，且d,(a)ldi+(a）(i=1,2，，r-1).不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个k级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个k级子式一定为零因此，为了计算k级行列式因子，只要看由i,，行与i,2列组成的k级子式就行了，而这个k级子式等于d,(a),d,(a),",d,(a)显然，这种k级子式的最大公因式就是
§3 不 变 因 子 教学目的 掌握行列式因子、不变因子的概念，熟练掌握其求法和应用. 重 点 行列式因子、不变因子的求法和应用. 教学过程 现在来证明， −矩阵的标准形是唯一的. 定义 5 设 −矩阵 A() 的秩为 r ，对于正整数 k,1 k r, ， A() 中必 有非零的 k 级子式. A() 中全部 k 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 () Dk 称为 A() 的 k 级行列式因子. 由定义可知，对于秩为 r 的 −矩阵，行列式因子一共有 r 个.行列式因 子的意义就在于，它在初等变换下是不变的. 定理 3 等价的 −矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 1 dr d d (1) 其 中 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 是首项系数为 1 的 多 项 式 ， 且 ( ) | ( ) ( 1 , 2 , , 1) di di+1 i = r − .不难证明，在这种形式的矩阵中，如果 一个 k 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 k 级子式一定为零. 因此，为了计算 k 级行列式因子，只要看由 k i ,i , ,i 1 2 行与 k i ,i , ,i 1 2 列组成的 k 级子式就行了，而这个 k 级子式等于 ( ), ( ), , ( ) 1 2 k di di di 显然，这种 k 级子式的最大公因式就是
d,(a)d,(a)...d (a)定理4-矩阵的标准形是唯一的证明设(1)是A(2)的标准形.由于A(a)与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，A(2)的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数r;A(a)的k级行列式因子就是(2)D,(a)=d,(a)d,(a)..-d,(a) (k=1,2,.,r)于是D,(a)d(2)=D(a) ,d;(2)= D()..,d,(a)=(3)D,(2)Dr-1(a)这就是A()的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被A(2)的行列式因子所唯一决定的，所以A(2)的标准形是唯一的定义6标准形的主对角线上非零元素d,(a),d,(a),d,(a)称为元-矩阵A(2)的不变因子定理5两个元－矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子由(3)可以看出，在入一矩阵的行列式因子之间，有关系式(4)D,(a)|Dk+(a) (k =1,2,-,r-1)在计算入一矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了例如，可逆矩阵的标准形.设A(a)为一个n×n可逆矩阵，由定理1知I A(a)=d,其中d是一非零常数，这就是说D,(a)=1于是由(4)可知，D,(a)=1(k=1,2,,n)从而
( ) ( ) ( ) d1 d2 dk 定理 4 −矩阵的标准形是唯一的. 证明 设(1)是 A() 的标准形.由于 A() 与(1)等价，它们有相同的秩与相 同的行列式因子，因此， A() 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个 数 r ; A() 的 k 级行列式因子就是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,2, , ) 1 2 D d d d k r k = k = . (2) 于是 ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 1 2 1 1 2 − = = = r r r D D d D D d D d . (3) 这就是 A() 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 A() 的行列式因子 所唯一决定的，所以 A() 的标准形是唯一的. 定义 6 标准形的主对角线上非零元素 ( ), ( ), , ( ) d1 d2 dr 称为 −矩 阵 A() 的不变因子. 定理 5 两个 −矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或 者，它们有相同的不变因子. 由(3)可以看出，在 −矩阵的行列式因子之间，有关系式 ( ) | ( ) ( 1,2, , 1) Dk Dk+1 k = r − . (4) 在计算 −矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样， 由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了. 例如，可逆矩阵的标准形.设 A() 为一个 nn 可逆矩阵，由定理 1 知 | A() |= d , 其中 d 是一非零常数，这就是说 Dn () =1 于是由(4)可知， D ( ) 1 (k 1,2, ,n) k = = 从而