5矩阵的转置:把矩阵A的行换成同序数的列 得到的一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作 如果A是一个m×n阶矩阵,那么AT就是 一个n×m阶矩阵。且A的行一定就是AT中同 序数的列 23 456 36 (2)(A+B)=A+B (3)(A)=AA(4)(AB)=B1A
5.矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列 得到的一个新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 AT 。 如果 A是一个 m×n 阶矩阵，那么 AT 就是 一个 n×m 阶矩阵。且 A 的行一定就是 AT中同 序数的列 T 1 4 1 2 3 2 5 456 3 6 = = A A T T T T T T T T T T (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) = + = + = = A A A B A B A A AB B A ☞
证明:设矩阵A为m×s阶矩阵,矩阵B为s×n 阶矩阵,那么:(AB)与BTA4T是同型矩阵; 又设C=AB,因为C的第i行第j列的元素正 好是C的cn,即 b1+a2b2+…+a1s bs=b1gn1+b212+…+b 而b1;b2,…,b正好是B的第i行, qna2…,a3正好是A的第j列,因此cn是BAT 的第i行第j列的元素。故 (AB=AB
证明：设矩阵 A为m×s 阶矩阵，矩阵 B为s×n 阶矩阵，那么： ( AB) T与 BTAT 是同型矩阵； 又设 C = A B，因为 CT的第 i 行第 j 列的元素正 好是 C 的 cji ，即 cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi =b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs 而b1i，b2i，…，bsi 正好是 BT的第 i 行， aj1 ,aj2 ,…,ajs 正好是 AT的第 j 列，因此 cji 是 BTAT 的第 i 行第 j 列的元素。故 ( AB ) T = AT BT
6方阵的行列式 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元 素的位置不变),称为方阵A的行列式,记为 A|或detA 注意:行列式与方阵是两个不同的概念,且它 们的记号也是不同的。 方阵的行列式满足以下运算规律(设A、B为 n阶方阵,λ为实数 I(1AA (2)|A|=x|A (3)|AB|AB|(4)|ABB4
6.方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元 素的位置不变)，称为方阵 A 的行列式，记为 | A| 或 det A。 注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它 们的记号也是不同的。 方阵的行列式满足以下运算规律(设 A、B为 n 阶方阵，λ为实数) T (1) | | | | (2) | | | | (3) | | | || | (4) | | | | n = = = = A A A A AB A B AB BA ☞
几类特殊的矩阵 1数量矩阵:矩阵kE称为数量矩阵 10 0(k0 kE=k 01 00k 00.k 2上(下)三角矩阵 0 00
2.上(下)三角矩阵： 1 0 ... 0 0 ... 0 0 1 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 0 0 ... k k k k k = = E 11 12 1 11 22 2 21 22 1 2 ... 0 ... 0 0 ... ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 ... ... n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a 1.数量矩阵： 矩阵 k E 称为数量矩阵。 三、几类特殊的矩阵
3行阶梯矩阵与行最简矩阵:一个m×n阶矩 阵A=(an)它的第行的第一个非零元素记为 a1,如果当>时,有j>时,称A为行阶梯矩 阵 若矩阵B满足以下条件 (1)B是行阶梯矩阵; (2)B的每一非零行的第一个非零元素为1 (3)每一非零行的第一个非零元素所在的列 除它自身外其余元素全为零。称矩阵B为行 最简矩阵
3.行阶梯矩阵与行最简矩阵：一个 m×n 阶矩 阵 A= (aij)它的第 i 行的第一个非零元素记为 ,如果当i>k时,有 j i > jk 时，称 A为行阶梯矩 阵。 若矩阵 B 满足以下条件 (1) B是行阶梯矩阵； (2) B的每一非零行的第一 个非零元素为1； (3) 每一非零行的第一个非零元素所在的列 除它自身外其余元素全为零。称矩阵 B 为行 最简矩阵。 i aij