S2收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质？然后学习怎样运用这些性质惟一性一二三四1有界性保号性保不等式性五、、迫敛性夫逼原理六、极限的四则运算七、一些例子前页返回后页
前页 后页 返回 一、惟一性 §2 收敛数列的性质 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪 七、一些例子 六、极限的四则运算 五、迫敛性(夹逼原理) 四、保不等式性 三、保号性 二、有界性 些优良性质？然后学习怎样运用这些性质. 返回
一、惟一性定理2.2若(a,收敛,则它只有一个极限证 设a是ia,的一个极限下面证明对于任何定数b≠a,b不能是la,的极限，若 a，b都是a,的极限，则对于任何正数 ε>0,ENi,当 n>N,时,有(1)lan-al<s;EN,当n>N,时，有后页返回前页
前页 后页 返回 一、惟一性 定理 2.2 若 { } an 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 是{ }的一个极限. a an 下面证明对于任何 定数 , 不能是 { }的极限 . b a b an 若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0, N2 ,当 n N2 时，有 N1 ,当 n N1 时，有 | a − a | ; (1) n
(2)Ian -b/<s.令 N=maxNj,N,}, 当 n>N时(1), (2)同时成立,从而有[a-b/≤/a,-al+/a,-b/<2.因为ε是任意的，所以a=b后页返回前页
前页 后页 返回 因为 是任意的，所以 a = b . max{ , }, 当 n > N 时 (1), (2)同时成立, 令 N = N1 N2 从而有 | a − b | . (2) n | a − b | | a − a | + | a − b | 2 . n n
二、有界性定理 2.3 若数列 (a,收敛,则 (a, 为有界数列即存在 M>0, 使得|a,/≤M, n=1, 2,.证 设 lim a,=a,对于正数 ε=1, 3N,n> N时,有nla,-al<l, 即a-1<a,<a+1.若令 M = maxi I a I,/a, ,...,|a, l,/ a-1],/ a+1},则对一切正整数n,都有la,/≤M.后页返回前页
前页 后页 返回 二、有界性 即存在 0, | | , 1, 2, . M a M n = 使得 n 证 lim , n n a a → 设 = 对于正数 = 1, , N n N时,有 | | 1, n a a − 1 1 . n 即 a a a − + 若令 M a a a a a = − + max{ | |,| |, ,| |,| 1|,| 1| }, 1 2 n 则对一切正整数 n , 都有 | | . n a M 定理 2.3 若数列 {an }收敛, 则 {an } 为有界数列
注 数列(-1)"}是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.前页后页返回
前页 后页 返回 件. 注 数列 {( 1) } n − 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条