S1 连续函承数的概念一、函数在一点的连续性二、问断点的分类三、区间上的连续函数返回前页后页
前页 后页 返回 §1 连续函数的概念 一、函数在一点的连续性 三、区间上的连续函数 二、间断点的分类 返回
一、函数在一点的连续性定义1设函数 f(x)在点x.的某邻域内有定义，且lim f(x) = f(xo)(1)X-→Xo则称f(x）在点x连续由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续性的，换句话说连续就是指f(x)在点x,的极限不仅存在，而且其值恰为f(x)在点x,的函数值f(x）后页返回前页
前页 后页 返回 定义1 0 设函数 f x x ( ) , 在点 的某邻域内有定义 且 lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = → (1) 由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续 0 0 仅存在,而且其值恰为 在点 的函数值 f x x f x ( ) ( ). 一、函数在一点的连续性 性的，换句话说连续就是指 0 f x x ( )在点 的极限不 0 则称 f x x ( ) . 在点 连续
例如：f(x)=xsgnx在x=0处连续，这是因为limxsgnx = 0 = f(0)x-→0Vy=xsgnxx0前页后页返回
前页 后页 返回 lim sgn 0 (0). 0 x x f x = = → y = xsgn x 例如： f (x) = xsgn x在 x = 0 处连续， 这是因为 x y O
又如：函数x±0x,二(a±0)f(x)=a, x=0在x=0处不连续，这是因为寸 lim f(x)=0± f(0)x-0Vx0返回前页后页
前页 后页 返回 在 x = 0 , 处不连续 这是因为 lim ( ) 0 (0). 0 f x f x = → 又如：函数 , 0 ( ) ( 0) , 0 x x f x a a x = = a x y O
函数f(x)=sgnx在点x=0处不连续，这是因为极限limsgnx不存在x-0由极限的定义，定义1可以叙述为：对于任意正数ε，存在8>0,当0<x-x,/<8时,有(2)f(x)-f(x) <8.注意到(2)式在x=x,时恒成立,因此0<x-x<8可改写为x-x<S，这样就得到函数f(x)在点x连续的-8定义后页返回前页
前页 后页 返回 极限 x x limsgn →0 不存在. 由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e , ( ) ( ) . (2) 0 f x − f x e 函数 f x x x ( ) sgn 0 , = = 在点 处不连续 这是因为 0 0 注意到(2) , 0 式在 x x x x = − 时恒成立 因此 存在 > 0, 0 当0 | | , − x x 时 有 可改写为 0 这样就得到函数 f (x) 在点x0 x x − ， 连续的 定义 e −