＊36可积性理论补叙本节首先证明达布定理，然后用达布定理证明函数可积的第一、第二、第三充要条件，其中第二充要条件即为第三节中介绍的可积准则上和与下和的性质可积的充要条件前页后页返回
前页 后页 返回 *§6 可积性理论补叙 一、 上和与下和的性质 本节首先证明达布定理, 然后用达 布定理证明函数可积的第一、第二、 第三充要条件, 其中第二充要条件即 为第三节中介绍的可积准则. 二、 可积的充要条件 返回
一、上和与下和的性质由 s 2,若 f 在[a, b]上有界,则对[a,b]的分割T:a=x,<x,<...<x,=b,有相应的上和与下和：S(T)-M,Ax, s(T)=-m,Ar,i-1i=1其中M, = sup(f(x)/ xe[x,-1,x,ll,i=1,2,..",n,m, = inf(f(x) / x e[x,-1,x,ll,i = 1,2,...,n后页返回前页
前页 后页 返回 一、上和与下和的性质 0 1 : , T a x x x b = = n 有相应的上和与下和: 1 sup{ ( ) | [ , ]}, 1,2, , , i i i M = = f x x x x i − n 1 ( ) Δ , n i i i S T M x = = 1 ( ) Δ , n i i i s T m x = = 1 inf{ ( ) | [ , ]}, 1,2, , . i i i m = = f x x x x i − n 由§2, 若 在 上有界 则对 的分割 f a, b a b [ ] , [ , ] 其中
S(T)-s(T)-(M,-m,)Ax, -Zo,Ax,i-1i=1其中w, = M, -m;=sup(1f(x)- f(x")1/ x',x"e[xi-,x,1),是f在[xi-,xl上的振幅返回前页后页
前页 后页 返回 i i i = − M m 1 [ ] . i- i 是 在 上的振幅 f x , x = − sup | ( ) ( ) | , [ , ] , f x f x x x x x i i −1 ( ) ( ) ( ) , 1 1 = = − = − = n i n i T Mi mi xi i xi S T s 其中
y上和的几何意义：y= f(x)曲边梯形“外接”矩番积之和。0abxJ下和的几何意义：y= f(x)曲边梯形“内接”矩番积之和0bax返回前页后页
前页 后页 返回 上和的几何意义: 曲边梯形“外接”矩 形 下和的几何意义: 曲边梯形“内接”矩 形 面积之和. 面积之和. x y O a b y f x = ( ) x y O y f x = ( ) a b
性质1 对固定分割 T :a=x<x,<...<x,=b, 有Z f(5,)Ax,5, e[x-1,x,1,i =1,2,,nS(T)=sup<i1[2 (5,)4x, 5 [(x, - ,,ns(T)=inf)Ai=-1证 V5, e[x,-1,x,l, f(5,)≤M,,i =1,2,..",n,Zf(5,)Ax,=EM,Ax, = S(T),il=1Z(5,)4x, 5; e[xi-1x,], i-1,.,n即 S(T)是i-1后页返回前页
前页 后页 返回 1 1 ( ) sup ( )Δ [ , ], 1,2, , , n i i i i i i S T f x x x i n − = = = 1 1 ( ) inf ( )Δ [ , ], 1,2, , . n i i i i i i s T f x x x i n − = = = 1 1 ( )Δ Δ ( ), n n i i i i i i f x M x S T = = =1 1 ( ) ( )Δ [ , ], 1,2, , n i i i i i i 即 S T f x x x i n 是 − = = 0 1 : , 性质1 对固定分割 有 T a x x x b = =n [ , ], ( ) , 1,2, , , 证 i xi−1 xi f i Mi i = n