S3 数列极限存在的条件学过数列极限概念后，自然会产生两个问题：一是怎么知道一个数列是收敛的？即极限的存在性问题二是如何计算数列的极限？其中，判断数列是否收敛，这在极限理论中占有非常重要的地位下面就极限存在性问题，介绍两个重要定理一、单调有界定理二、柯西收敛准则返回前页后页
前页 后页 返回 学过数列极限概念后，自然会产生两个 §3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理. 二、柯西收敛准则 理论中占有非常重要的地位. 极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限 即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的? 返回
一、单调有界定理定理2.7单调有界数列必有极限证该命题的几何意义是十分明显的不妨设{a,}单调增，有上界由确界定理，存在supia,=.由上确界的定义，对于任意的 ε>0存在an,使an.>-8. 故当 n>ng(=N)时,an(n>no)anoTxSS5-85+8后页返回前页
前页 后页 返回 一、单调有界定理 定理 2.7 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的. { } 不妨设 an 单调增，有上界. 由确界定理，存在 sup{ } . n a = 由上确界的定义，对于任意的 0, 存在 an0 , 使 0 . n a − 0 故当 时 n n N =( ) , − + ( ) x n0 a ( ) n n0 an
-an≤an≤5+,这就证明了 lima,=5.nα例1 设 a, = V2, .. a, - V2 + V2+.+ V2 ,n求 limann→00解 显然 a,>0. 因 a, =2+v2,故a,>a; 设a,>an-1, 则有an+1-a,=/2+a,-/2+an-1an-an-1>0,2+an + /2+an-1后页返回前页
前页 后页 返回 例1 设 1 2, , 2 2 2 , , n n a a = = + + + 求 lim . n n a → 1 1 2 2 n n n n a a a a + − − = + − + 1 , n n a a − 则有 2 2 1 0 . 2 2 , ; n 解 显然 因 故 设 a a a a = + 0 , n n − + a a 这就证明了 lim . n n a → = 1 1 0, 2 2 n n n n a a a a − − − = + + +
所以a，递增.下面再来证明此数列有上界显然，aj=V2<2,设a,<2,则an+1 = /2+a, </2+2 =2.由此得到 (a,有上界2，故极限 lima,=A存在于是由liman+1=lim√2+an，可得n→8n8A2 =2+A, 并解出 A=2, A=-1由极限的不等式性，知道A>0，所以lim a, = 2.n-00后页返回前页
前页 后页 返回 2 A A A A = + = = − 2 2, 1. ，并解出 { } 由此得到 an 有上界 2 , lim n . n a A → 故极限 存在 = lim 2 . n n a → = 1 2 2 2 2. n n a a + = + + = 1 显然 , 2 2 , a = 2 , n 设 则 a 由极限的不等式性, 知道 A 0 , 所以 所以{ }递增. an 下面再来证明此数列有上界. 于是由 1 lim lim 2 , n n n n a a + → → = + 可得
例2下面的叙述错在哪儿？“设a,=2",n=1, 2, ..,则an+1 = 21+l = 2an.因为显然有 a,>0,所以(a,} 递增.设 lima,=A,n8从而得出A=2A=A=0.即 lim2n =0."n→80以前知道圆周率元是一个重要的无理数，现在来介绍另一个重要的无理数e.后页返回前页
前页 后页 返回 例2 下面的叙述错在哪儿？ 2 2 . 1 1 n n an = = a + + 因为显然有 0, { } . n n a a 所以 递增 lim , n n a A → 设 = 2 , 1, 2, , n n “设 a n = = 则 A A A = = 2 0 , lim 2 0 . n n→ 即 = ” 从而得出 介绍另一个重要的无理数e. 以前知道圆周率 π是一个重要的无理数,现在来