《数学分析》课程教学课件（讲稿）具有某些特性的函数

S4具有某些特性的函数本节将着重讨论函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性。一、有界函数二、单调函数三、奇函数与偶函数四、周期函数前页返回后页

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一、有界函数定义1设f定义在D上若MeR,VxeD,f(x)≤M,则称f在D上有上界，若LeR,VxED,f(x)≥L,则称f在D上有下界；若MER,VxED,f(x)≤M,则称f在D上有界易证f在D上有界一f在D上既有上界又有下界若VMeR,日x,eD,f(x)>M,则称f在D上无上界;后页返回前页

前页 后页 返回 一、有界函数 定义1 设 f 定义在D上. 若 则称 在 上有上界；      M x D f x M f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有下界；      L x D f x L f D R, , ( ) , 若 则称 在 上有界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 易证 f 在D上有界  f 在D上既有上界又有下界. 若 则称 在 上无上      M x D f x M f D R, , ( ) , 0 0 界；

若VLeR,3x,ED,f(x,)<L,则称f在D上无下界若VMeR,x,ED,f(x,)>M,则称f在D上无界例1求证:f(x)=tanx在[0,)上无上界,有下界证 L=0, 则 Vx e[0,号), (x)≥ L, 因此F 在[0, ) 上有下界. VM e R, 令x, =arctan(M +1),则 x, =[0, ),且tanx,=M+1>M,因此f在[0,]上无上界，后页返回前页

前页 后页 返回 若 则称 在 上无界      M x D f x M f D R, , ( ) , . 0 0 π : ( ) tan [0, ) , . 2 例1 求证 f x x = 在 上无上界 有下界 π [0, ) . 2 上有下界   = + M x M R, arctan( 1), 令 0 π [0, ) . 2 上无上界 π 0 [0, ), ( ) , 2 证 L x f x L =    ，则 因此 f 在 0 0 π [0, ), tan 1 , 2 则 x x M M  = +  且 因此 f 在 若     L x D f x L f D R, , ( ) , 0 0 则称 在 上无下界；

例2设函数f(x),g(x）是D上的正值有界函数求证: supif(x)g(x))≤ sup(f(x))supig(x)XEDxeDXED证 VxeD, f(x)≤supif(x)),g(x)≤ supig(x))因此 f(x)g(x)≤ supuf(x))supig(x),由x的任意性，可知 supif(x))supig(x)是(f(x)g(x)的一个上界因此sup(f(x)g(x)≤ supif(x)supig(x)XEDXEDXED后页返回前页

前页 后页 返回 g(x)  sup{g(x)}, 因此 f x g x f x g x ( ) ( ) sup{ ( )}sup{ ( )},  由 x f x g x 的任意性, sup{ ( )}sup{ ( )} 可知 是{ f (x)g(x)}的一个上界, sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 因此  证    x D f x f x , ( ) sup{ ( )}, : sup{ f (x)g(x)} sup{ f (x)}sup{g(x)}. xD xD xD 求证  例2 设函数 f x g x D ( ), ( ) . 是 上的正值有界函数

例3 设 f(x), g(x)在 D 上有界,证明:infuf(x)+ g(x) ≤ inf(f(x)) + supig(x)xEDXEDxED证 V>0,日x, ED,f(x,)<inf(f(x)+.XED又 g(x,)≤ supig(x)), 故XEDf(x,)+ g(x,)<inf(f(x)) + supig(x)) + 8.xEDXED因此inf(f(x)+ g(x))≤ f(x,)+ g(x)xED≤inf(f (x)) + supig(x))XEDXED前页后页返回

前页 后页 返回 例3 设 f x g x D ( ), ( ) 在 上有界,证明: inf{ ( ) ( )} inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D x D f x g x f x g x    +  + 证 0 0 0, , ( ) inf{ ( )} . x D   x D f x f x       + 0 ( ) sup{ ( )}, x D g x g x  又  故 0 0 ( ) ( ) inf{ ( )} sup{ ( )} . x D x D f x g x f x g x    +  + + 因此 0 0 inf{ ( ) ( )} ( ) ( ) x D f x g x f x g x  +  + inf{ ( )} sup{ ( )}. x D x D f x g x    +