凸集--举例 例：证明超球x≤r为凸集 证明：设x,y为超球中的任意两点p≤a≤1， 则有： llax+(1-a)y ≤alx+(1-ay‖ ≤cm+(1-a)r=r, 即点x+(1-a)y属于超球 ,所以超球为凸集
例： 证明超球 x r 为凸集． 证明：设 x , y 为超球中的任意两点， 0 1, 则有： x + (1−)y x + (1−) y r + (1−)r = r, 即点 x + (1−)y 属于超球, 所以超球为凸集． 凸集----举例
凸集--性质 (1) 任意多个凸集的交集为凸集 (2) 设D是凸集，B是一实数，则下面的 集合是凸集：BD={y=x,x∈D} (3)设D和D是R上的凸集，则 (a)D,+D={x+xlx,∈D,x2∈D,是凸集 (b)D-D2=1-x2Ix∈D,x2∈D2是凸集
(1) 任意多个凸集的交集为凸集． (2) 设 D 是凸集， 是一实数，则下面的 集合是凸集： D = y y = x , x D 凸集-----性质 (3) (b) | , . (a) | , ; 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 是凸集 是凸集 设 和 是 上的凸集，则 D D x x x D x D D D x x x D x D D D R n − = − + = +
凸集--性质 推论设D,i=1,2,,k是凸集，则∑B,D i= 也是凸集，其中B是实数. (4)S是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中
推论： = k i i Di 1 设 D i k i , = 1,2, , 是凸集，则 也是凸集，其中 i 是实数． (4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中. 凸集-----性质
凸集--性质 注：和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集 例：D,=《x,0yx∈表示x轴上的点. D=《和，y)y∈R表示y轴上的点 则D,UD,表示两个轴的所有点，它不是凸集 而D,+D2=R2凸集
注：和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集． 例： D (x ) x R T 1 = ,0 表示 x 轴上的点． D ( y) y R T 2 = 0, 表示 y 轴上的点． 则 D1 D2 表示两个轴的所有点，它不是凸集； 2 而 D1 + D2 = R 凸集． 凸集-----性质
凸集--凸包/壳(Convex Hul) 定义设S≤中任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为S的凸包，记为H(S,即 ②3012-2=me H(S) i=1 定理2.1.4H(S是R"中所有包含S的凸集的交集 H(S是包含S的最小凸集
定义 设 S 中任意有限个点的所有凸组合 所构成的集合称为S的凸包，记为H(S),即 , n S R 凸集-----凸包/壳(Convex Hull) = = = = = m i i i i m i H S i xi x S i m m N 1 1 ( ) , 0, 1,2..., , 1, 定理2.1.4 H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集. H(S)是包含S 的最小凸集