第五章大数定律及中心极限定理 9§5.1大数定律 ⊙§5.2中心极限定理 2/41
2/41 第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1大数定律 9大数定律(law of large numbers),又称大数定理 是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质 的定律。但是大数定律并不是经验规律，而是严 格证明了的定理。 在前面我们接触了两个重要的概念 大量试验后事件发生的频率n/n稳定于一个常数，即概 率 ·大量试验的算术平均值稳定于数学期望 大数定律就是以确切的数学形式表达了大量重复 出现的随现象的统计规律性 即频率的稳定性和算术平均值的稳定性 3/41
3/41 §5.1 大数定律 大数定律(law of large numbers)，又称大数定理， 是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质 的定律。但是大数定律并不是经验规律，而是严 格证明了的定理。 在前面我们接触了两个重要的概念 ⚫ 大量试验后事件发生的频率nA/n稳定于一个常数，即概 率 ⚫ 大量试验的算术平均值稳定于数学期望 大数定律就是以确切的数学形式表达了大量重复 出现的随机现象的统计规律性 ⚫ 即频率的稳定性和算术平均值的稳定性
§5.1大数定律 弱大数定理1（契比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量X1,X2,,X…相互独立，且具有相同 的数学期望和方差：EXk)=山，D(X=o2(k=1,2,…),作 前n个随机变量的算术平均值 灭=1 定理的解释：当n-→oo时， =1 则对于任意正数6，有 ∑X-K这一随机 n k= 事件的概率趋近于1 lim PX-u<a) 1→00 即对任意的正数E,当n充分 -2刘-小 大时，不等式|X-K成 立的概率很大 4141
4/41 弱大数定理 1(契比雪夫定理的特殊情况) 设随机变量X1 , X2 ,..., Xn ,...相互独立, 且具有相同 的数学期望和方差: E(Xk )=m, D(Xk )=s2 (k=1,2,...), 作 前n个随机变量的算术平均值 , 1 1 = = n k Xk n X 1. 1 lim lim {| | } 1 = = − − = → → m m n k k n n X n P P X 则对于任意正数, 有 §5.1 大数定律 定理的解释：当n→时， 这一随机 事件的概率趋近于1 即对任意的正数ε，当n充分 大时，不等式 成 立的概率很大 | } 1 {| 1 − m = n k Xk n | X − m |
证 由随机变量X1,X2,…,Xw…相互独立，且具有 相同的数学期望和方差，有 E x]-2W-w=h k=1 由契比雪夫不等式可得 P2.-4小12 在上式中令→o,并注意到概率不能大于1，即得 ▣P2双--t n->0 5/41
5/41 证 , 1 ( ) 1 1 , 1 ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 n n n D X n X n D n n E X n X n E n k k n k k n k k n k k s s m m = = = = = = = = = = 2 2 1 / 1 1 s m n X n P n k k − − = 由契比雪夫不等式可得 由随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立，且具有 相同的数学期望和方差，有 在上式中令n→, 并注意到概率不能大于1, 即得 1. 1 lim 1 = − = → m n k k n X n P
§5.1大数定律 定理的实际含义：令充分小，当充分大 时，随机变量X1,X2,Xm的算术平均值无限 接近数学期望EX)=EX2)=..=EX),即 当n无限增加时个随机变量的算术平均值 X-I2X k=1 将几乎变成一个常数。这种接近是概率意 义上的接近 6/41
6/41 定理的实际含义：令ε充分小，当n充分大 时，随机变量X1 ,X2 ,…,Xn的算术平均值无限 接近数学期望E(X1 )= E(X2 )=…= E(Xn )，即 当n无限增加时n个随机变量的算术平均值 将几乎变成一个常数。这种接近是概率意 义上的接近 = = n k Xk n X 1 1 §5.1 大数定律