(即imn=S),则称数项级数()收敛，S称为数 项级数()的和，记作 S=4,+4,+.+4n+.,或S=∑4 n=1 若{Sn}是发散数列，则称数项级数(1)发散， 例1讨论等比级数（也称几何级数） a+q+g2+.+aq”+. (3) 的收敛性(0). 前页 返回
前页 后页 返回 → lim n = n (即 S S ), 则称数项级数(1)收敛, S 称为数 项级数(1)的和,记作 1 2 1 , . n n n S u u u S u = = + + + + = 或 例1 讨论等比级数(也称几何级数) + + + + + 2 (3) n a aq aq aq 的收敛性(a≠0). 若 { } Sn 是发散数列,则称数项级数(1)发散
解q≠1时，级数(3)的第n个部分和为 S.=ataq+.+aq-a.I-g 1-q 因此 ()当lg<1时，limS=lima 1-4= 4.此时级 n91-q1- 数3)收敛，其和为1-q ()当q>1时，lim S=oo,此时级数(3)发散. 前页 返回
前页 后页 返回 解 q≠1时, 级数(3)的第 n 个部分和为 1 1 . 1 n n n q S a aq aq a q − − = + + + = − 因此 1 (i) 1 , lim lim . 1 1 n n n n q a q S a → → q q − = = − − 当 时 此时级 数(3)收敛,其和为 − . 1 a q → (ii) 1 , lim , (3) . = n n 当 时 此时级数 发散 q S
(i)当q=1时，Sn=na,级数发散.当q=-1时， S2=0,S2k41=a,k=0,1,2,.,级数发散. 综合起来得到：q<1时，级数(3)收敛；q≥1时，级 数(3)发散. 例2讨论数项级数 11 1.223 +.1 (4) n(n+1) 的收敛性。 解级数(4)的第n个部分和为 前页 后页 返回
前页 后页 返回 (iii) 1 , , . = = n 当 时 级数发散 q S na 当 时 q = −1 , 2 = 0, S k 2 1 , 0,1,2, , . S a k k+ = = 级数发散 综合起来得到: q 1 , (3) ; 时 级数 收敛 q 1 , 时 级 数(3)发散. 例2 讨论数项级数 + + + + + 1 1 1 (4) 1 2 2 3 ( 1) n n 的收敛性. 解 级数(4)的第n个部分和为