《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章_D10_2二重积分的计算

>X型：D={(x,y)川a≤x≤b,p1(x)≤y≤p2(x)} ∬naxy=g图，na]x xfdy >Y型：D={(x,y川c≤y≤d,y1(y)≤x≤y2(y)} 则了 nx,nddy=ay0fx,dx ·二次积分的几何直观：俗称“穿线法” HIGH EDUCATION PRESS

➢Y 型: 2 1 ( ) ( ) ( , ) d y y f x y x   d d c y  则 • 二次积分的几何直观：俗称 “穿线法” { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 D = x y c  y  d  y  x   y  D f ( x, y) d x d y         = b a x x f x y d y d x ( ) ( ) 2 1 ( , )     = b a x x d x f x y d y ( ) ( ) 2 1 ( , )   { ( , ) | , ( ) ( ) } 1 2 ➢X 型: D = x y a  x  b  x  y   x

例1.计算7=川奶xdo,其中D是直线y=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 解法1，将D看作X-型区域，则D:1≤x≤21≤y≤x 7=ddyf[w]a =x2-]m-8 0 1 x2x 解法2.将D看作Y-型区域，则D:1≤y≤2y≤x≤2 1-dx-i-a,-y小- HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

x y 2 1 1 y = x o 2  = 2 1 dy 例1. 计算 d ,  = D I xy  其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则 D : I =  2 1 d x xyd y  = 2 1 d x    = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 =   1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : I =  xyd x  2 1 d y   y x y 2 2 2 1    = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1  x  2 1  y  x 1  y  2 y  x  2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2计算 川W+x2-ydo,其中D是由直线=1、x=-1 D 及=x所围成的闭区域. 分析：X型区域：D:-1≤x≤1，x×1, 有 ∬+2-da=4i+2-, Y型区域：D:-1y1,-1≤x≤y, ∬Wi+×-g=f,+x-h 提问：哪个二次积分容易计算？ HIGH EDUCATION PRESS

分析: X型区域: D: −1y1, −1x<y. D: −1x1, xy1. Y型区域: 及y=x所围成的闭区域. 例 2 计 算 y x y d D  + − 2 2 1 , 其 中 D 是由直线 y=1、x=−1    − − + − = + − 1 1 1 2 2 2 2 1 1 y D y x y d ydy x y d x . 提问: 哪个二次积分容易计算？ 于是有    + − = + − − 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d d x y x y d y

例2计算川W1+x2-ydo,其中D是由直线1、x=-1 D 及=x所围成的闭区域. 解： X型区域：D:-1≤x≤1，x必1. 有 ∬W+r-ydo=小Ni+2-y 0÷2-d=0x-1a -x-= ∫W1+x2-yd =-+2-d0+x2-y) HIGH EDUCATION PRESS

及y=x所围成的闭区域. 例 2 计 算 y x y d D  + − 2 2 1 , 其 中 D 是由直线 y=1、x=−1   − − =− + − =− − 1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x 2 1 ( 1) 3 2 1 0 3 = − − =  x d x .   − − =− + − =− − 1 1 3 1 1 2 1 3 2 2 (| | 1) 3 1 [(1 ) ] 3 1 x y dx x dx x 1 (1 ) 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 x y d x y y x y dy x x = − + − + − + −   解: X型区域: D: −1x1, xy1. 于是有    + − = + − − 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x D y x y d d x y x y d y

例3.计算∬Dxdo,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域： 解：将D看作Y型区域， 则D:-1≤y≤2，y≤x≤y+2 y=X-2 fo-Fopdx =xy]2=0+22-1 >+22-名12图 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页 下页返回结束

例3. 计算 d , D xy  其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: D :  xy d x  D xyd − = 2 1 dy   − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 −1  y  2, y  x  y + 2 y y + 2 及直线 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将D看作Y–型区域