第四节 第十二章 离数展开成暴级数 两类问题：在收敛域内 00 幂级数∑anx” 求和 和函数S(x) n=0 展开 本节内容： 一、泰勒(Taylor)级数 二、 函数展开成幂级数 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章
泰勒(Taylor)级数 公复习 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数 则在该邻域内有： f)=f)+foXx-x)+d(x-月 21 ,+f(o(x-x)”+Rn() n! 此式称为f(x)的n阶泰勒公式： 其中 风0-)”（在与2回 称为拉格朗日余项 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = ( 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 则在该邻域内有 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ❖复习
泰勒级数 若函数f(x)在x的某邻域内具有任意阶导数，则幂级数 f)+Xx-x+"w(x-月+x-+ 称为f(x)的泰勒级数 冬麦克劳林级数 在泰勒级数中取x。=0,得 f0+f0r+0r2++ fm)(0) 20 xn+ 此级数称为f(x)的麦克劳林级数 待解决的问题：1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)? HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
f (x0 ) +f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 称为f (x) 的泰勒级数 . 则幂级数 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 + + + + + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x . 在泰勒级数中取x0=0 得 此级数称为 f (x) 的麦克劳林级数. ❖泰勒级数 ❖麦克劳林级数
定理1.设函数f(x)在点x的某一邻域U(x)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足：IimR,(x)=0 n->o0 f(x)=f(xo)+f(xo)(x-x0)+ f"(o(x-x0) 21 f(x-x+. 推广：在上述泰勒级数中取x。0,得 f(x)在(-；r)内能展成麦克劳林级数，即展开成x的幂级数 f(x)=f0)+f(0)x+f(0)x2++品(0)x”+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 上而下而间结南
定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) f (x) = 推广： f (x)在(-r, r)内能展成麦克劳林级数, 即展开成 x的幂级数 在上述泰勒级数中取 x0= 0 得
二、函数展开成幂级数 ?函数展开成幂级数的步骤 第一步求出f(x)的各阶导数：f'(x),f'"(x),··,fx), 第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值： 0),f'(0),f"(0),·.·,fn(0),·· 第三步写出幂级数并求出收敛半径R, f0)+f0x+f" 2x2+.+ fm(0) xn+. 21 h 第四步考察在区间(-R,R)内时是否R,(x)→0(n→∞)， 如果Rnx)→0(n→o),则x)在(-R,R)内的幂级数展开式 为 f)=f0+f0x+'"Ox2++f 2xn+.(-R<x<R) 21 HIGH EDUCATION PRESS
❖函数展开成幂级数的步骤 •第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x) f (x) f (n) (x) ; •第二步 求函数及其各阶导数在x=0 处的值: f(0) f (0) f (0) f (n) ( 0) ; •第三步 写出幂级数 •第四步 考察在区间(−R R)内时是否Rn (x)→0(n→). 如果Rn (x)→0(n→) 则 f(x) 在(−R R)内的幂级数展开式 为 ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 + + + = + + n n x n f x f f x f f x (−RxR). ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 + + + + + n n x n f x f f f x 并求出收敛半径R; 二、函数展开成幂级数