2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1）曲线y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)*的拐点是（(A) (1,0).(B) (2,0) .(D)(4,0) .(C) (3,0).(2)设数列(a,)单调减少，lima,=0，S,=之。a（n=1,2）无界，则幂级数k=lZa,(x-1)"的收敛域为()n=l(D) (0,2) .(A)(-1,1].(B)[-1,1).(C) [0,2).(3)设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f'(0)=0，则函数1z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（(A) f(0)>1,f"(0)>0(B) f(0)>1, f"(0)<0.(C) f(0)<1, f"(0)>0.(D) f(0)<1, f"(0)<0 .[ Incotxdx, K=](4) 设1=[4 Insinxdx,J= [incosxdx，则I,J,K的大小关系是（(A) I<J<K.(B) I<K<J.(C) J<I<K(D) K<J<I.（5）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3C00)(100)00011P, =)行得单位矩阵，记P=1则A=（(001)(0 1 0(A) PP2.(C) PP.(D) P,P-1.(B) P-'P, .(6）设A=(α,α2,α3,α)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则Ax=0的基础解系可为（)(A) α,αg.(B) α,α2.(C) α,αz,αg.(D) αz,ag,α
2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上． (1) 曲线 2 3 4 y x x x x = − − − − ( 1)( 2) ( 3) ( 4) 的拐点是( ) (A) (1,0) ． (B) (2,0) ． (C) (3,0) ． (D) (4,0) ． (2) 设数列 an 单调减少， lim 0 n n a → = ， 1 ( 1, 2, ) n n k k S a n = = = 无界，则幂级数 1 ( 1)n n n a x = − 的收敛域为( ) (A) ( 1,1] − ． (B) [ 1,1) − ． (C) [0, 2) ． (D) (0,2] ． (3) 设函数 f x( ) 具有二阶连续导数，且 f x( ) 0 ， f (0) 0 = ，则函数 z f x f y = ( )ln ( ) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (B) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (C) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (D) f (0) 1 ， f (0) 0 ． (4) 设 4 0 I x dx ln sin = ， 4 0 J x dx ln cot = ， 4 0 K x dx ln cos = ，则 I J K , , 的大 小关系是( ) (A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 P = ， 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 P = ，则 A = ( ) (A) PP1 2 ． (B) 1 P P 1 2 − ． (C) PP2 1 ． (D) 1 PP2 1 − ． (6) 设 1 2 3 4 A = ( , , , ) 是 4 阶矩阵， * A 为 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，则 * A x = 0 的基础解系可为( ) (A) 1 3 , ． (B) 1 2 , ． (C) 1 2 3 , , ． (D) 234 , , ．
(7）设F(x)，F(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f(ax)，f(x)是连续函数，则必为概率密度的是（(A) f(x)f2(x) .(B) 2f(x)F(x) .(C) f(x)F(x).(D) f.(x)F(x)+ f(x)F(x) (8）设随机变量X与Y相互独立，且E(X)与E(Y)存在，记U=max（X,Y)V=min(X,Y)则E(UV)=()(A) E(U)·E(V) .(B) E(X)·E(Y) .(C) E(U)·E(Y).(D) E(X)·E(V) 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上，(9)曲线y=Jtantdi(0≤x≤")的弧长s=4(10）微分方程y+y=e*cosx满足条件y(0)=0的解为y=，(1) 设函数 F(x,)=J。1ax2(12）设L是柱面方程x2+y=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为道时针方向，则曲线积分q,xzdx+ xdy+兰。dz=2(13）若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4，经过正交变换化为+4z=4，则a=(14)设二维随机变量（X,Y)服从正态分布N(u,μ,α2,α2;0)，则E(XY2)=三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)（本题满分10分）In(1 + x)求极限lim
(7) 设 1 F x( ) ， 2 F x( ) 为两个分布函数，其相应的概率密度 1 f x( ) ， 2 f x( ) 是连续函数， 则必为概率密度的是( ) (A) 1 2 f x f x ( ) ( ) ． (B) 2 1 2 ( ) ( ) f x F x ． (C) 1 2 f x F x ( ) ( )． (D) 1 2 2 1 f x F x f x F x ( ) ( ) ( ) ( ) + ． (8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 E X( ) 与 E Y( ) 存在，记 U X Y = max , ， V X Y = min , 则 E UV ( ) = ( ) (A) E U E V ( ) ( ) ． (B) E X E Y ( ) ( ) ． (C) E U E Y ( ) ( ) ． (D) E X E V ( ) ( ) ． 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 ．．．指定位置上． (9) 曲线 0 tan (0 ) 4 = x y tdt x 的弧长 s = ． (10) 微分方程 cos x y y e x − + = 满足条件 y(0) 0 = 的解为 y = ． (11) 设函数 2 0 sin ( , ) 1 xy t F x y dt t = + ，则 2 2 0 2 x y F x = = = ． (12) 设 L 是柱面方程 2 2 x y + =1 与平面 z x y = + 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去 为逆时针方向，则曲线积分 2 L 2 y xzdx xdy dz + + = ． (13) 若二次曲面的方程 2 2 2 x y z axy xz yz + + + + + = 3 2 2 2 4 ，经过正交变换化为 2 2 1 1 y z + = 4 4 ，则 a = ． (14) 设二维随机变量 ( X Y, ) 服从正态分布 ( ) 2 2 N , ; , ;0 ，则 ( ) 2 E X Y = ． 三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答题纸 ．．．指定的位置上．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． (15)(本题满分 10 分) 求极限 1 1 0 ln(1 ) lim( ) x e x x x − → + ．
（16)（本题满分9分）设函数z=f(xy,yg(x)，其中函数具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=12求处取得极值g(1)=1，axoy=(17)（本题满分10分）求方程karctanx-x=0不同实根的个数，其中k为参数
(16)(本题满分 9 分) 设函数 z f xy yg x = ( , ( )) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g x( ) 可导且在 x =1 处取得极值 g(1) 1 = ，求 2 1 1 x y z x y = = ． (17)(本题满分 10 分) 求方程 k x x arctan 0 − = 不同实根的个数，其中 k 为参数．
(18)（本题满分10分）1（I）证明：对任意的正整数n，都有<ln(1+-)<-成立，n+1nn1--lnn(n=1,2,.)，证明数列(a,)收敛(I)设a,=1+-+·+-2n（19）（本题满分11分）已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(l,y)=0，f(x,1)=0，JJ f(x,)dxdy=a, 其中D=(x,y)10≤x≤1,0≤y≤1),D计算二重积分1=JJxf,(x,)dxdy0
(18)(本题满分 10 分) (Ⅰ)证明：对任意的正整数 n，都有 1 1 1 ln(1 ) n n n 1 + + 成立． (Ⅱ)设 1 1 1 ln ( 1,2, ) 2 n a n n n = + + + − = ，证明数列 an 收敛． (19)(本题满分 11 分) 已知函数 f x y ( , ) 具有二阶连续偏导数，且 f y (1, ) 0 = ， f x( ,1) 0 = ， ( , ) D f x y dxdy a = ，其中 D x y x y = ( , ) | 0 1,0 1 ， 计算二重积分 '' ( , ) xy D I xy f x y dxdy = ．
(20)（本题满分11分）设向量组α=(1,0,1)，α,=(0,1,1)，α,=(1,3,5)，不能由向量组β=(1,1,1)，β,=(1,2,3)，β,=(3,4,a)线性表示(I)求a的值；(1I）将β,β2,β,由αi,αz,α,线性表示(21)（本题满分11分）A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即r(A)=2，且A11（I）求A的特征值与特征向量：(II）求矩阵A.（22）（本题满分11分）
(20)(本题满分 11 分) 设向量组 1 2 3 (1,0,1) (0,1,1) (1,3,5) T T T = = = ， ， ，不能由向量组 1 (1,1,1)T = ， 2 (1, 2,3)T = ， 3 (3,4, )T = a 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1 2 3 , , 由 1 2 3 , , 线性表示． (21)(本题满分 11 分) A 为三阶实对称矩阵， A 的秩为 2，即 r A( ) = 2 ，且 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 A − = − ． (I) 求 A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵 A ． (22)(本题满分 11 分)