【答】应选（A）【详解】由题设知J(x))_f'(x)g(x)-f(x)g (x)<0(g(x))g(x)因此当a<x<b时，有f(x)、J(b)g(x)g(b)即f(x)g(b)> f(b)g(x)可见（A）为正确选项(2）设S:x2+y?+z=α2（z≥0),S,为S在第一卦限中的部分，则有(A) 「xdS =4/xdS(B)([ydS=4/xds(C) [J zdS =4 xds(D) [[ xyzds = 4][ xyzdS【【答】应选（C)【详解】显然，待选答案的四个右端均大于零，而S关于平面x=0和y=0对称，因此（A）（B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上，有[ =dS = 4[[ zdS = 4[ xdSsS-（3）设级数u，收敛，则必收敛的级数为=1(B)(A)un=(D)1Cu2nutu.nsl[】【答】应选（D)【详解】利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举反例说明是不正确的.例如：1(-1)"un7一收敛，但7（-1发散，可排除（A)；Innnlnnnn=2Z(-1)"1一收敛，但u，发散，可排除（B）；-=Vn=inn=ln=1
【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 ( ) ( ) () () () () ( ) ' ' ' 2 0, f x f xgx f xg x gx g x ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = < ⎝ ⎠ 因此当 axb < < 时，有 ( ) ( ) ( ) ( ) f x fb gx gb > 即 f () () () () xgb f bgx > ， 可见（A）为正确选项. （2）设 ( ) 2 22 2 1 Sx y z a z S : 0, ++= ≥ 为 S 在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 S S xdS xdS = ∫∫ ∫∫ （B） 1 4 S S ydS xdS = ∫∫ ∫∫ （C） 1 4 S S zdS xdS = ∫∫ ∫∫ （D） 1 4 S S xyzdS xyzdS = ∫∫ ∫∫ 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 显然，待选答案的四个右端均大于零，而 S 关于平面 x = 0 和 y = 0对称，因此（A）、 （B）、（D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有 1 1 4 4 SS S zdS zdS xdS = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ （3）设级数 1 n n u ∞ = ∑ 收敛，则必收敛的级数为 （A） ( ) 1 1 . n n n u n ∞ = ∑ − （B） 2 1 n n u ∞ = ∑ （C） ( ) 21 2 1 . n n n u u ∞ − = ∑ − (D) ( ) 1 1 . n n n u u ∞ + = ∑ + 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 利用级数的性质即知，（D）为正确选项，事实上，（A）、（B）、（C）三个选项可举 反例说明是不正确的.例如： ( ) 2 1 1 ln n n n ∞ = ∑ − 收敛，但 ( ) 2 2 1 1 ln n n n n u n nn ∞ ∞ = = ∑ ∑ − = 发散，可排除（A）； ( ) 1 1 1 n n n ∞ = ∑ − 收敛，但 2 1 1 1 n n n u n ∞ ∞ = = ∑ ∑= 发散，可排除（B）；
2(-1)收敛，但之(um--n)-2(+>二发散，可排除（c），(2n-12n)n三n（4）设n维列向量组αj",αm（m<n)线性无关，则n维列向量组β,,βm线性无关的充分必要条件为(A)向量组α,αm可由向量组β,,β线性表示(B)向量组β,β.可由向量组α…α.线性表示(C)向量组αjαm与向量组β"β等价(D)矩阵A=（α,,αm）与矩阵B=（B，,βm）等价[【答】应选（D）【详解】用排除法.（A）为充分但非必要条件：若向量组αi，,αm可由向量组β，…,β线性表示，则一定可推导β，β.线性无关，因为若β,，β.线性相关，则r(αiαm）<m,于是α,αm必线性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m=1时，α,=(1,0),β,=(0,1)均为单个非零向量是线性相关的，但α,并不能用β线性表示(B)为既非充分又非必要条件.如当m=1时，考虑α,=(1,0)，β,=(0,1)均线性无关，但β并不能由α,线性表示，必要性不成立；又如α,=(1,0)β=(0,0)，β可由α,线性表示，但β并不线性无关，充分性也不成立（C）为充分但非必要条件，若向量组αi"α与向量组β,β等价，由αj"αm线性无关知，r（βB，,βm）=r(αj,,αm）=m,因此β,,β线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑α=(1,0),β,=(0,1)均线性无关，但α,与β,并不是等价的，必要性不成立（E）故剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵A=（αi,αm）与矩阵B=（βi,",βm）等价r(A)=r(B)r(B,,β.)=r(αj,αm)=m,，因此是向量组β,,βm线性无关的充要条件（5）设二维随机变量（X,Y)服从二维正态分布，则随机变量=X+Y与n=X-Y不相关的充分必要条件为
( ) 1 1 1 1 n n n ∞ − = ∑ − 收敛，但 ( ) 21 2 11 1 11 1 2 12 n n nn n u u nnn ∞∞ ∞ − == = ⎛ ⎞ −= +≥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∑∑ ∑ 发散，可排除（c）. （4）设 n 维列向量组α α 1, , " m ( ) m n < 线性无关，则 n 维列向量组 1, , β " β m 线性无关的充 分必要条件为 （A） 向量组 1, , α " α m 可由向量组 1, , β " β m 线性表示. （B） 向量组 1, , β " β m 可由向量组 1, , α " α m 线性表示. （C） 向量组 1, , α " α m 与向量组 1, , β " β m 等价. （D） 矩阵 ( ) 1, , A = α " α m 与矩阵 B = (β1, , " β m ) 等价. 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 用排除法. （A）为充分但非必要条件：若向量组 1, , α " α m 可由向量组 1, , β " β m 线性表示，则一定可推 导 1, , β " β m 线性无关，因为若 1, , β " β m 线性相关，则r m (α α 1, , " m ) < 于是 1, , α " α m 必线 性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m =1时， 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均为单个非零向量是 线性相关的，但α1 并不能用 β1线性表示. （B）为既非充分又非必要条件.如当 m =1时，考虑 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均线性无关，但 β1 并不能由α1 线性表示，必要性不成立；又如 1 1 () ( ) 1,0 , 0,0 T T α β = = ， β1可由α1 线性表示， 但 β1并不线性无关，充分性也不成立. （C）为充分但非必要条件，若向量组 1, , α " α m 与向量组 1, , β " β m 等价，由 1, , α " α m 线性 无关知， ( )( ) 1 1 , , , m m rrm ββ αα " " = = 因此 1, , β " β m 线性无关，充分性成立；当 m =1时， 考虑 1 1 () () 1,0 , 0,1 T T α β = = 均线性无关，但α1 与 β1并不是等价的，必要性不成立. （E） 故剩下（D）为正确选项.事实上，矩阵 A = (α1, , " α m ) 与矩阵 ( ) 1, , B = β " β m 等价 ⇔ rA rB () () = ⇔ rrm ( ) ββ αα 1 1 , , , " " m m = ( ) = ，因此是向量组 1, , β " β m 线性无关 的充要条件. （5）设二维随机变量( ) X ,Y 服从二维正态分布，则随机变量ξ = X +Y 与η = − X Y 不相关 的充分必要条件为