《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第2章 第2讲 函数求导法则

01函数和、差、积、商的求导法则CO0人邮教育RA例7设y=cscx,求y-(sin x)o解y' =(cscx)sin?xsinxcosx-cscxcotx,sin’x即(cscx)=-cscxcotx

2 (sin ) sin x x    2 cos sin x x   y   (csc x) 例 7 解 1 sin x          csc xcot x ， 01 函数和、差、积、商的求导法则 11 设 y  csc x ，求 y ． 即 (csc x)  cscx cot x

COAOR人邮教育小结(sinx) =cosx(cosx) =-sinx(tanx) = sec x .(cot x) = -csc2 x .(secx) = secx tanx .(cscx)=-cscxcotx

12   2 tan x sec x   ． cot x  csc 2 x．  (sec x)  secx tan x . (csc x)  cscx cot x . sin  cos  x  x cos  sin  x   x 小结

R人邮教育本讲内容w.ryjiaoyu.co01函数和、差、积、商的求导法则02反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数

01 函数和、差、积、商的求导法则 02 反函数求导法则 03 复合函数求导法则 04 高阶导数 本 讲 内 容

02反函数求导法则CO0RA人邮教育定理2.4若函数x=f(y)在区间I、内单调可导且f"(y)+0，则它的反函数y=f-(x)在相应区间I内也单调可导，1且有[f-(x)]':f'(y)11Aydy或limdxArdxAr→0AxlimdyAy→>0 Ay即反函数的导数等干直接函数导数的倒数

且有 1 1 [ ( )] ( ) f x f y     若函数 x  f ( y)在区间 I y 内单调可导且 f ( y)  0 ， 定理2.4 则它的反函数 y  f 1(x) 在相应区间 I x 内也单调可导， 0 d lim d x y y x   x    或 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数. . 1 d d x y  0 1 lim y x   y    02 反函数求导法则 14

02反函数求导法则COAOR人邮教育1例证明(arcsinx)8V1-x2D证设x=siny为直接函数，则y=arcsinx是它的反函数，函数x=siny在I,=(-,)内单调可导，且(siny)=cosy>0，-则在 I、=(-1, 1) 内有1y' = (arcsin x)'-(sin y)cosy又cosy=/1-sin?y=/i-x,故1(arcsin x):V1-x?

例 8 证 设x  sin y 为直接函数，则 y  arcsin x 是它的反函数， 函数x  sin y 在 ( π , π ) 内单调可导， 2 2 y I   且 (sin y)  cos y  0 ， ( 1 1) x 则在 I   , 内有 2 2 又 cos y  1 sin y  1 x ，故 2 1 (arcsin ) 1 x x    证明 . 02 反函数求导法则 15 2 1 (arcsin ) . 1 x x    1 1 (arcsin ) (sin ) cos y x y y       ；