S 7. 2点估计的评价标准对于同一个未知参数，不同的方法得到的估计量可能不同，于是提出问题应该选用哪一种估计量？用何标准来评价一个估计量的好坏？无偏性(1)常用(2) 有效性标准(3)一致性
§7.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得 到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性
无偏性定义若 E(0)=0则称é是θ的无偏估计量定义的合理性我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等
若 则称 是 的无偏估计量. 无偏性 定义 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等. 定义的合理性 E( ˆ ) ˆ
例1 i设总体X的k阶矩 u=E(Xk)存在(X,X2,,X,）是总体X的样本证明：不论X服从什么分布(但期望存在)则-x是的无偏估计量证 由于 E(X))=μ i-1,2,,n 因而2x)2E(X))E(A)= E(=ni=1i=l·n·μk=μ
是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 是 的无偏估计量. 证 例1 设总体X 的 k 阶矩 存在 由于 因而 则 ( , , , ) X1 X2 Xn k n i k i n i k k i E X n X n E A E 1 1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( ( ) k k E X E X i n k k i ( ) 1,2,, k k n n 1 n i k k Xi n A 1 1
特别地样本均值X是总体期望 E(X)的无偏估计量样本三阶原点矩 A,=->X是总体ni=1的无偏三阶原点矩μ2 = E(X?)估计量
特别地 样本二阶原点矩 是总体 样本均值 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量 二阶原点矩 的无偏 估计量 n i Xi n A 1 2 2 1 X ( ) 2 2 E X
例2设总体X的期望与方差存在，X的福福证明样本为(X,X,,,X)(n>1)(1) S,=-(x,-)不是 D(X)的无偏估量;Z(X,-X)是 D(X)的无偏估计量(2) S?=n-X? = X2证前已证nE(X)= E(X) = μu, D(X)= D(X)=αCE(X)= E(X)= u ,D(X)=n
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 (n > 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. 证 前已证 证明 2 E(Xi) E(X ) , D(Xi) D(X ) n E X E X D X 2 ( ) ( ) , ( ) ( , , , ) X1 X2 Xn n i n Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 X X n X X n n i i n i i