《高等代数》PPT课件-对称矩阵的标准形

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYs 9.6对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵（自学）四、实二次型的主轴问题

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY一、实对称矩阵的一些性质引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数证：设2.是A的任意一个特征值，则有非零向量?满足A5 = 2o5

引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 1 2 n x x x           0 0 A   

西安毛子科技大学XIDIAN UNIVERSITYX1X2令=其中xi为x,的共轭复数XnA=A又由A实对称，有 A=A，A'=A,: F5 =F() =E(A) =(E A)§=(E A) =(AE)E =(AE)5=(5)5 =(5)5 =55

令 其中 为 的共轭复数， 又由A实对称，有 A  A, A  A, i i x x 1 2 , n x x x           0    ( A )     (A )   ( 0 )  A  A  (A )   (0 )    ( A)    (A )  0  (  )   0   

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITYF=F5考察等式，由于是非零复向量，必有E'$ = xx++x2x,+..+Xnx.* 0故 , =o. ,R

1 2 1 2 n 0 n   x x x x x x       由于 是非零复向量，必有 故 考察等式，  0 0    . 0    R. 0 0       

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间Rn上定义一个线性变换。如下：VαER"(α) = Aα,则对任意α,βe R",有(α(α),β)=(α,α(β))即β'(Aα) =α'(Aβ)

引理2 设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间 上 ( ) , n    A   R 定义一个线性变换 如下：  (),   , ( ), 则对任意 有 即 n R  , , n    R (A) (A )