第五章不定积分第一节不定积分的概念及性质第二节不定积分的积分方法KVKM
第一节 不定积分的概念及性质 第二节 不定积分的积分方法 第五章 不定积分
二、分部积分法设函数u=u(x），V=v(x）具有连续导数，根据乘积微分公式有移项得udv=d(uv)-vdu,[ udy= w-[ vdu,两边积分得该公式称为分部积分公式，它可以将求udv的积分问题转化为求『vdu 的积分，当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用，VKM
设函数u u(x),v v(x)具有连续导数，根据乘积微分 公式有 移项得 udv d(uv) vdu, 两边积分得 d d , u v uv v u 该公式称为分部积分公式，它可以将求udv的积分问题转化 为求 vdu 的积分，当后面这个积分较容易求时，分部积分 公式就起到了化难为易的作用． 二、分部积分法
求xcosxdx.例13解设u=x,dv=cosxdx =d(sinx),于是du=dx,v=sinx,代入公式有[xcos xdx=[xd(sin x)= x sin x-[sin xdx注：本题若设u=cosx,dv=xdx，则有du=-sinxdx及=二x，代入公式后，得到二2[x' sin xdx,xcosxdx==xcosx+2新得到积分xsinxdx反而比原积分更难，说明这样设u,dv是不合适的，由此可见，运用好分部积分关键是恰u,dv当地选择好u和dv，一般要考虑如下两点：（1）V要容易求得（可用凑微分法求出）：（2）「vdu要比「udv容易积出。KVKM
例 13 求 x cos xdx. 解 设u x,dv cos xdx d(sin x), 于是du dx,v sin x,代入公式有 x cos xdx= xd sin x = xsin x sin xdx 注：本题若设u cos x,dv xdx,则有du sin xdx及 2 2 1 v x ，代入公式后，得到 x cos xdx= 2 2 1 x cos x 2 1 x sin xdx 2 , 新得到积分 x sin xdx 2 反而比原积分更难，说明这样设 u,dv 是不合适的，由此可见，运用好分部积分关键是恰 u,dv当地选择好u和dv ，一般要考虑如下两点： （1） v 要容易求得（可用凑微分法求出）； （2） vdu要比udv容易积出．
求[xIn xdx.例14Jnd-Jim()In-a(m)解lnx-[dx=号lnx-→+C当熟悉分部积分法后，u,dv及y,du可心算完成，不必具体写出求[x'e'dx.例15解x'e'dx=fx'd(e'")=xe*-[e'd(x?)=xet-2] xe'dx=x'e-2] xd(e*)x*er-2(xe'-[e'dx)=x'er-2xe'+2e' +C(x? -2x+2)e*+C.VKM
例 14 求 x ln xdx. 解 x ln xdx= 2 ln d 2 x x = x x x x d ln 2 ln 2 1 2 2 . 4 1 ln 2 d 2 1 ln 2 2 2 2 x x C x x x x x 当熟悉分部积分法后，u,dv 及v,du 可心算完成，不 必具体写出． 例 15 求 x x x e d 2 . 解 x x x e d 2 = 2 2 2 x d e x e e d x x x x 2 2 e 2 e d e 2 d e x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x x e 2 e e d e 2 e 2e 2 2 2 2e . 2 x x C x
例16求e'sin xdx.解[e* sin xdx =[sin xd(e*)=e* sin x-Je* cos xdx=e' sin x- J cos xd(e)=e'sin x-e'cosx-[e'sin xdx将再次出现的「esinxdx移至左端，合并后除以2得所求积分为[e' sin xdx =*(sin x - cos x)+CeVKM
例 16 求 x x x e sin d . 解 x x x x x x x x x x e sin d sin d e e sin e cos d 将再次出现的 x x x e sin d 移至左端，合并后除以 2 得 所求积分为 e sin cos . 2 1 e sin xdx x x C x x e sin e cos e sin d . e sin cos d e x x x x x x x x x x x