第3.1节导数的概念函数的变化率(一) E
(一) 函数的变化率 第3.1节 导数的概念
它表示函数y=f(x)在区间[a,a+△x]上的平均变化率f(a+ Ax)- f(α)存在,当△x→0时,若平均变化率的极限lim△xAx-0则此极限值称为函数f(x)在点a处的变化率
它表示函数y f (x)在区间[a,a x]上的平均变化率. 0 ( ) ( ) 0 , lim , . x f a x f x x x f x a 当 时 若平均变化率的极限 存在 则此极限值称为函数 在点 处的变化率
例.求变速直线运动的瞬时速度问题的速度如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻So +△s=f(to+4t)在直线上引入坐标原点0和单位长度设动点于时刻t在数轴上的位置为s：s=f(t)考虑质点在时间段[to,t+△]上的平均速度： f(to +△t) - f(to)△t
例.求变速直线运动的瞬时速度问题 在直线上引入坐标原点 0 和单位长度 设动点于时刻t在数轴上的位置为s：s f (t) ( ) 0 0 s s f t t 如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻 的速度 0 0 考虑质点在时间段[t ,t t]上的平均速度： t f t t f t ( ) ( ) 0 0
考虑质点在时间段[to,t。+△t]上的平均速度：= f(to +△t)-f(to)△t（1）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数即为质点在时刻的（瞬时）速度。（2）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与△t有关我们用这段时间内的平均速度来近似代替t。时刻的瞬时速度这种替代称为“以匀代不匀"或以不变代变”显然时间间隔越小，这种近似代替的精确度就越高当时间间隔△t→0时,把平均速度的极限称为t时刻的瞬时速度，f(to +△t)- f(to)= lim△t△t-→>0
（1）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数, 即为质点在 时刻的（瞬时）速度。 0 我们用这段时间内的平均速度v 来近似代替t 时刻的瞬时速度, 这种替代称为``以匀代不匀”或``以不变代变”. （2）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与t有关。 0 0 考虑质点在时间段[t ,t t]上的平均速度： t f t t f t ( ) ( ) 0 0 t f t t f t t ( ) ( ) lim 0 0 0 显然时间间隔越小,这种近似代替的精确度就越高. 0 当时间间隔t 0时, 把平均速度v的极限称为t 时刻的瞬时速度
f(to +△t)- f(to)=lim△tAt->0注记：在上面的讨论中,t.是任意取的时间点，可看做常数取完极限后，就得到了t.时刻的瞬时速度因为t.是任意取的,就得到每一时刻的瞬时速度
0 0 0 : , , , , , , . t t t 注记 在上面的讨论中 是任意取的时间点 可看做常数 取完极限后 就得到了 时刻的瞬时速度 因为 是任意取的 就得到每一时刻的瞬时速度 t f t t f t t ( ) ( ) lim 0 0 0