§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性二、应用 1、第四调和元素的作图 例1已知直线让上相异三点P1P2P3,求作第四调和点P2 注2本例引申 1、给定三点如图,如何作图? 2、给定共点三直线如图,求 作第四调和直线 3、给定共点三直线如图,求 Ip2 P3 作第四调和直线 3P2 注3由上述作图,(P2P2PP1分存在一个完全四点形 以P1,P2为两个对边点,并使P,P4在另一对对边上 注4注3的对偶命题 由上述注3,4,你想到了什么?
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1 , P2 , P3 . 求作第四调和点P4 . 注2 本例引申 1、给定三点如图，如何作图? 2、给定共点三直线如图，求 作第四调和直线. 3、给定共点三直线如图，求 作第四调和直线. 注3 由上述作图，(P1P2 , P3P4 )=–1 存在一个完全四点形, 以P1 , P2为两个对边点, 并使P3 , P4在另一对对边上. 注4 注3的对偶命题. 由上述注3, 4，你想到了什么？
§22完全四点形与完全四线形的调和性 调和性二、应用 1、第四调和元素的作图2、几何证明题 例2证明:梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分 上下底 证明:如图,ABCD为梯形,ADBC,E,F 分别为两腰和对角线的交点.EF交AD,BC于 PQ.只要证明P,Q分别是AD,BC的中点 由推1推3∠个一 为BC的中点 据推论2.9,(4D,PG)1,所以P为AD的中点 本例引申 →两个作图题: 1、已知一线段的中点,求作该线段的任一平行线 2、已知一线段及其一条平行线,求作该线段的中点
§ 2.2 完全四点形与完全四线形的调和性 一、调和性 二、应用 1、第四调和元素的作图 例2 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分 上下底. 2、几何证明题 证明：如图, ABCD为梯形, AD//BC, E, F 分别为两腰和对角线的交点. EF交AD, BC于 P,Q. 只要证明P, Q分别是AD, BC的中点. 考察完全四点形EAFD. 设AD×BC=G∞. 由推论2.8, 有(BC, QG∞)=–1, 再据推论2.3, Q 为BC的中点. 据推论2.9, (AD, PG∞)=–1, 所以P为AD的中点. 本例引申 两个作图题： 1、已知一线段的中点, 求作该线段的任一平行线. 2、已知一线段及其一条平行线, 求作该线段的中点