§4.5二次点列上的射影变换 二次点列上的射影对应 与一维射影对应的桥梁 S(P)天I(P S(P)入S(P T(P)AT(P) S(P)天r(P) 交比、调和比、 Steiner作图法、透视轴 二、二次点列上的射影变换 射影轴、不变元素、分类、与 Pascal定理的关系 三、二次点列上的对合 对合轴、对合中心、几何条件、与配极 变换的关系
§ 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 S(P) (P) S'(P') '(P') S(P) S'(P') (P) '(P') 二、二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 与一维射影对应的桥梁 交比、调和比、Steiner作图法、透视轴…… 射影轴、不变元素、分类、与Pascal定理的关系…… 对合轴、对合中心、几何条件、与配极 变换的关系……
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的对合 例2.(P:135,EX.4) 证明.二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相 同,照抄P77,§2.5,例2.14 例3.(P135,EX.5) 证明如图,过P作的弦PQ1设 AP1,Q1分别交T于P1,Q1 由定理424,在上(P,P12…)分(Q,Q12…)为对合(以P0为对合 中心) 于是,在A为束心的线束中,A(P,P1…)分A(Q,Q1,…)为对合 从而,在P上,对应(P,P,…)分(,Q12…)为对合 由上述对合可知,其对应点的连线PQ,P1Q1必定共点于对合 中
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例2. (P.135, Ex. 4) 证明. 二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相 同, 照抄P.77, §2.5, 例2.14. 例3. (P.135, Ex. 5) 证明. 如图, 过P0另作的弦P1Q1 , 设 AP1 , AQ1分别交'于P1 ', Q1 '. 由定理4.24, 在上(P, P1 , …)(Q, Q1 , …)为对合(以P0为对合 中心). 于是, 在A为束心的线束中, A(P, P1 , …)A(Q, Q1 , …)为对合. 从而, 在'上, 对应(P', P1 ', …)(Q', Q1 ', …)为对合. 由上述对合可知, 其对应点的连线P'Q', P1 'Q1 '必定共点于对合 中心
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的对合 例4(P135,EX.7)如图,设A,B为不在非退化二阶曲线r上的两 定点,PP,PP分别为通过A,B的两条动弦求证:T(P)4I(P) 与I(P)4IP)都是r上的对合.问r(P)I(P")是否为r上的对 证明以定点A为对合中心I(P)4r(P 为对合 以定点B为对合中心,(P)4I(P)为对 I(P)4I(P)不一定成为对合除非PP"能够经过定点
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例4(P.135, Ex. 7) 如图, 设A,B为不在非退化二阶曲线上的两 个定点, PP', P'P''分别为通过A,B的两条动弦. 求证： (P) ↔ (P') 与(P') ↔ (P'')都是上的对合. 问(P) ↔ (P'')是否为上的对 合？ 证明 以定点A为对合中心, (P) ↔ (P') 为对合. 以定点B为对合中心, (P') ↔ (P'')为对 合. (P) ↔ (P'')不一定成为对合. 除非PP''能够经过定点
§4.5二次点列上的射影变换 、二次点列上的对合 例5(P135,EX.8)如图,设PP为过不在非退化二阶曲线r上 定点的动弦,又A,B为r上的两个定点,且Q= APXBP,R= BPxAP求 证:QR在另一条二阶曲线上 证明由PP过定点得r(P)4I(P)为对合 于是A(P,P)>B(P’P)为射影线束 而Q,R2为此二射影线束的对应直线的交 点,所以在另外一条二阶曲线上 注:由此想到: I上两定点与其上同一个动点连线,得到两个射影线束 I上两定点分别与其上射影变换的对应点连线,得到两个射影 线束
§ 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例5(P.135, Ex. 8) 如图, 设PP'为过不在非退化二阶曲线上一 定点的动弦, 又A,B为上的两个定点, 且Q=APBP', R=BPAP'. 求 证：Q,R在另一条二阶曲线上. 证明 由PP'过定点得(P) ↔ (P')为对合. 于是A(P,P'…) ↔B(P',P…)为射影线束. 而Q, R,…为此二射影线束的对应直线的交 点, 所以在另外一条二阶曲线上. 注：由此想到： 上两定点与其上同一个动点连线, 得到两个射影线束. 上两定点分别与其上射影变换的对应点连线, 得到两个射影 线束
§4.6二次曲线的仿射理论 二阶曲线与无穷远直线的关系 定义421对于任意的二阶曲线I,若交无穷远直线于两个 相异的实点 双曲型的 双曲线 重合的实点,则称为{抛物型的若非退化,则称为抛物线 共轭的虚点 椭圆型的 椭圆 双曲线 抛物线 椭圆
§ 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 定义4.21 对于任意的二阶曲线, 若交无穷远直线于两个 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 , 则称为 双曲型的 抛物型的. 椭圆型的 若非退化, 则称为 双曲线 抛物线. 椭圆 双曲线 抛物线 椭圆