教学建议学习目标第五章多元函数微分学偏导数$ 5.185.2二元函数的极值s5.3条件极值
§ 5.1 偏导数 § 5.2 二元函数的极值 § 5.3 条件极值 教学建议 学习目标 第五章 多元函数微分学
$5.3条件极值一.条件极值的意义二.条件极值的求法
一. 条件极值的意义 二. 条件极值的求法 §5.3 条件极值
条件极值的意义一.(1)我们已经讲过函数案例,z= f(x,y)=/1-x2-y, (x,y)eD的极大值问题,其中D=(x,)x2+y≤1)它是在圆域Zx2+V2≤1内求函数的极大值点.我们已知道，点(0,0)是其极大值点f(0,0)=1是极大值.y(2)现在的问题是,在条件该圆域在平面坐标系中g(x,y)=x+y-1=0 下,求函数z=f(x,y)=/1-x2-y2, (x,y)eD,的极大值，Ix
一 . 条件极值的意义 案例 (1)我们已经讲过函数 ( , ) 1 , 2 2 z= f x y = −x −y 1 是极大值. 点 (0,0) 是其极大值点, f (0,0)= (x, y)D, 的极大值问题,其中 ( , ) 1, 2 2 D= x y x + y 它是在圆域 1 2 2 x + y 内求函数的极大值点.我们已知道, (2)现在的问题是,在条件 g(x, y)= x+ y−1=0 下,求函数 ( , ) 1 , 2 2 z= f x y = −x −y (x, y)D, 的极大值. o 1 x y 该圆域在平 面坐标系中 O y z 1 x
与案例中(1)的问题比较,(2)多了一个附加条件案例x+y-1=0, 即 g(x,y)=0是条直线(2)我们要求的极值点不仅在圆域x2+>≤1内,且应在分析<直线x+y-1=0上x+y-1=(Ny该案例中的(2)该案例中的(1)因在求极值时相应地在求极值时有附加条件无附加条件称为条件极值称为无条件极值
(2)多了一个附加条件 x+ y−1=0, o 1 x y (2) 分析 案例 与案例中(1)的问题比较, 即 g(x, y)=0. 1 2 2 我们要求的极值点不仅在圆域 x + y 是条直线 内,且应在 直线 x+ y−1=0 上. x+ y−1=0 因在求极值时, 有附加条件 称为条件极值 该案例中的(2) 在求极值时, 无附加条件 称为无条件极值 该案例中的(1) 相应地
二.条件极值的求法条件极值在约束条件g(x,y)=0 (也称约束方程)之下,求函数的求法z=f(x,y)(通常称为目标函数)的极值问题,恭化为无条件极值问题.从约束方程中解出 :V=β(x)把它代入目标函数中,得到 z=f(x,(x))有两种这个一元函数的极值就是函数z=f(x,y)在条件方法：g(x,y)=0 之下的条件极值.该方法当从方程g(x,y)=0 中解出V较困难时,就很不方便特别是对多于两个自变量的多元函数,很难行得通，欲求目标函数z=f(x,y)在约束条件拉格朗日乘数法g(x,J)=0 之下的极值点,可按下列程序:
条件极值 的求法 g(x, y)=0 z = f (x, y) 在约束条件 (也称约束方程)之下,求函数 (通常称为目标函数)的极值问题, y=(x), 把它代入目标函数中,得到 z = f (x,(x)). 这个一元函数的极值就是函数 在条件 是化为无条件极值问题.从约束方程中解出 y: z = f (x, y) g(x, y)=0 之下的条件极值. 其二 该方法当从方程 中解出 y 特别是对多于两个自变量的多元函数,很难行得通． g(x, y)=0 较困难时,就很不方便. 拉格朗日乘数法.欲求目标函数 z = f (x, y) g(x, y)=0 之下的极值点,可按下列程序: 在约束条件 有两种 方法: 其一 二. 条件极值的求法