教学建议学习目标第五章多元函数微分学偏导数$ 5.185.2二元函数的极值s5.3条件极值
§ 5.1 偏导数 § 5.2 二元函数的极值 § 5.3 条件极值 教学建议 学习目标 第五章 多元函数微分学
S5.2二元函数的极值一.二元函数的极值二.最大值与最小值的应用问题三.最小二乘法
一. 二元函数的极值 二. 最大值与最小值的应用问题 三. 最小二乘法 §5.2 二元函数的极值
一，二元函数的极值1.极值设函数z=f(x,y)在点P(xo,yo)及其邻近有定义,的定义P(x,y)是其中异于P(xo,yo)的任意一点:(1)若有f (x,y)< f(Xo,yo),则称P(xo,o)是函数f(x,y)的极大值点,称f(xo,yo)是函数f(x,y)的极大值.(2)若有f(x,y)> f(xo,yo),则称P(xo,yo)是函数f (x,y)的极小值点,称f(xo,yo)是函数f(x,y)的极小值.函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点：函数的极大值与极小值统称为函数的极值
一 . 二元函数的极值 1. 极值 的定义 (1)若有 ( , ) ( , ), 0 0 f x y f x y 设函数 在点 及其邻近有定义, 是其中异于 的任意一点: z = f (x, y) P(x, y) ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0 0 0 P x y 则称 P0 (x0 , y0 ) 是函数 f (x, y) 的极大值点,称 ( , ) 是函数 的极大值. 0 0 f x y f (x, y) (2)若有 ( , ) ( , ), 0 0 f x y f x y 则称 P0 (x0 , y0 ) 是函数 f (x, y) 的极小值点,称 ( , ) 是函数 的极小值. 0 0 f x y f (x, y) 函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点; 函数的极大值与极小值统称为函数的极值
对函数z=f(x,y)=/1-x2-y2,点(0,0)例如是其极大值点,f(0,0)=1是极大值.这是因为在点(0,0)及其邻近,对异于点(0,0)的任意一点(x,y),都有f(x,y)<f(0,0)=1, (x,y)±(0,0)对函数f (x,y)=x2+y2,点 (0,0)又如是其极小值点,f(0,0)=0是其极小值这是因为在点(0,0)及其邻近,除原点(0,0)X以外的函数值均为正：f(x,y)> f(0,0)=0, (x,y)(0,0)
例如 对函数 ( , ) 1 , 2 2 z= f x y = −x −y 是其极大值点, 点 (0,0) 1 是极大值. f (0,0)= 这是因为在点 及其邻近,对异于点 的任意一 点 ,都有 (0,0) (0,0) (x, y) f (x, y) f (0,0)=1, (x, y)(0,0). 又如 是其极小值点, 对函数 ( , ) , 2 2 f x y =x + y 点 (0,0) f (0,0)=0 是其极小值. 这是因为在点 及其邻近,除原点 以外的函数值均为正: (0,0) (0,0) f (x, y) f (0,0)=0, (x, y)(0,0).O y z 1 x
2.极值极值存在的必要条件的求法是极值点，则若函数f(x,J)在点P(xo,Jo)偏导数存在且 Pf(xo,o)=0, f(xo,yo)=0.通常把满足条件f(xo,Jo)=0, f,(xo,yo)=O的点 P(xo,)称为函数f(x,y)的驻点.若函数f(x,J)存在偏导数,则函数的极值只能在驻注意点取得.但驻点并不都是极值点.例如,函数z= f(x,y)=-x2+y2,点(0,0)是其驻点,且f(0,0)=0.但点(0,0)不是极值点.因为在点(O,)的邻近,当x<y时,函数f(x,y)取正值,当α>时,函数f(x,J)取负值
2. 极值 的求法 极值存在的必要条件 若函数 f (x, y) 在点 ( , ) 偏导数存在且 0 0 0 P x y P0 是极值点,则 ( , ) 0, f x x0 y0 = ( , ) 0. f y x0 y0 = 通常把满足条件 的点 称为函数 的驻点. ( , ) 0, f x x0 y0 = ( , ) 0 f y x0 y0 = ( , ) 0 0 0 P x y f (x, y) 注意 ( , ) , 2 2 z= f x y =−x + y 若函数 存在偏导数,则函数的极值只能在驻 点取得.但驻点并不都是极值点. f (x, y) 例如,函数 点 (0,0) 是其驻点,且 0) 0 .但点 不是极值点. f (0, = (0,0) 因为在点 (0,0) 的邻近, 当 x y 时,函数 f (x, y) 取正值, 当 x y 时,函数f (x, y) 取负值