假设P(k)(x) = f(k)(x,) k = 1,2,..-,na,= f(x,), 1.a, = f'(x,), 2!a, = f"(x,)n!a, = f("(x,)得(k = 0,1,2, ...,n)akk代入P,(x)中得f"(xo)P,(x) = f(xo)+ f'(x)(x - xo) -r-x..2!xo(x-x)n!微积分经济数学
假设 P x f x k n k k n ( ) ( ) 1,2, , 0 ( ) 0 ( ) = = ( ), 0 x0 a = f 代入P (x) n 中得 n n n x x n f x x x f x P x f x f x x x ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 + − − + = + − + 得 ( ) ( 0,1,2, , ) ! 1 0 ( ) f x k n k a k k = = 1 ( ), 1 x0 a = f 2! ( ) 2 x0 a = f , ! ( ) 0 ( ) n a f x n n =
三、泰勒(Taylor)中值定理泰勒（Taylor）中值定理如果函数f(x）在含有x的某个开区间(a,b）内具有直到(n+1)阶的导数，则当x在(a,b)内时，f(x)可以表示为(x一x)的一个n次多项式与一个余项R，（）之和：()= f(x)+ F(x)(x- x0)+"((x- x,)2!f("(xo)(x - xo)" + R,(x)++..n!F(n+1)()(x-x)n+1 (在。与 之间).其中R,(x)=(n + 1)!经济数学微积分
三、泰勒( Taylor )中值定理 泰 勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有x0 的某个开区间(a,b) 内具有直到(n + 1) 阶的导数,则 当x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的一个 n次多项式与一个余项R ( x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( 在x0 与x 之间)
证明：由假设,R.(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数且R,(x。) = R,(x。)= R"(xo)= ... = R(n)(x。) = 0两函数R,(x)及(x一x)n+在以x,及x为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R,(x)R,(x)- R,(x.)+(x - xo)n+1 -0(x - x)"R,(5)(在x,与x之间)(n +1)(5i - x,)"电微积分经济数学
证明: 由假设,R (x) n 在(a,b)内具有直到(n + 1) 阶导数, 且 两函数R (x) n 及 1 0 ( ) + − n x x 在以x0及x为端点的区间上 满足柯西中值定理的条件,得 ( ) ( 1)( ) ( ) 0 1 0 1 在x 与x之间 n x R n n + − = ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 − − − = − + n+ n n n n x x R x R x x x R x ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 0 = = = = = R x R x R x R x n n n n n
两函数R,(x)及(n+1)(x一x)"在以x.及,为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得R'(5)R'(5)-R,(x)(n+1)(i -x)"(n+1)( -x,)" - 0R(52)(5,在x,与,之间)n(n+ 1)(5, -x)"-1如此下去,经过(n+1)次后,得R(n+) (2)R,(x)(x-x,)n+(n +1)(在x,与弓,之间,也在x,与x之间)光经济数学微积分
如此下去,经过(n + 1)次后,得 两函数R (x) n 及 n (n 1)(x x ) + − 0 在以x0及 1 为端 点的区间上满足柯西中值定理的条件,得 ( 1)( ) 0 ( ) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 + − − − = + − n n n n n n x R R x n x R ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 0 + = − + + n R x x R x n n n n (在x0与 n之 间,也在 0 x 与x之间) ( ) ( 1)( ) ( ) 1 2 0 1 2 0 2 在 与 之 间 x n n x R n n − + − =