电动力学讲稿第五章电磁波的辐射p(x,t)a[1p(,t)dyp(x,t)dv(17)atat4元at4元。（16）+（17）式，得((,1)不dV. A(x,t)+C2at4元11r1 ap(x,t)ddv24元at(18)=()不+ldy4元，atap(x,t)Hon(x,)不变+dy4元Jat'利用电荷守恒定律V(,1),不变 + (F0at'所以V.A(,1)+0() =0Cat即，以上势函数的解满足洛伦兹规范条件。讨论：（关于辐射场的势函数）1）一个电荷电流系统t时(x,t)刻，在空间x点的标势12:r2p(x,t),对M,点而言，rT是由时刻的电M17M.nC荷密度决定：对M，点而言，是由时刻的电荷密度决定。可见，在空间文点，在某时刻t的电磁场（势）C决定于电荷电流分布在不同时刻的值。2）电磁作用传播速度为c，其他一切相互作用都是以有限速度传播的，不存在瞬时的超距作用。11
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 11 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∂ ∂ ′ ′ ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ ∂ ∂ = ∂ ∂ ' 1 , 4 1 , ' 1 4 , 1 0 0 dV t x t r x t dV t t r x t K K K ρ πε ρ πε ϕ （17） （16）＋（17）式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ′ ′ = ∇ ⋅ ′ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ′ ′ = ∇ ⋅ ′ + ∂ ∂ ′ ′ + = ∇ ⋅ ′ ∂ ∂ ∇ ⋅ + ' ' , ' , ' 1 4 ' , ' , ' 1 4 ' 1 , 4 1 1 ' , ' ' 1 4 1 , , ' 0 ' 0 0 2 ' 0 2 dV t x t J x t r dV t x t J x t r dV t x t c r J x t dV t r x t c A x t t t t K K G K K G K K G K K ρ π μ ρ π μ ρ πε π ϕ μ 不变 不变 不变 （18） 利用电荷守恒定律 ( ) ( ) 0 ' , ' , ' ' = ∂ ∂ ′ ′ ∇ ⋅ ′ + t x t J x t t K K G ρ 不变 所以 ( ) ( ) 0 1 , , 2 = ∂ ∂ ∇ ⋅ + t x t c A x t K K ϕ 即，以上势函数的解满足洛伦兹规范条件。 讨论：（关于辐射场的势函数） 1） 一个电荷电流系统 t 时 刻，在空间 x G 点的标势 (x,t) G ϕ ，对 M1点而言， 是由 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − c r t 1 时刻的电 荷密度决定；对 M 2 点 而言，是由 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − c r t 2 时刻的电荷密度决定。可见，在空间 x G 点，在某时刻t 的电磁场（势） 决定于电荷电流分布在不同时刻的值。 2） 电磁作用传播速度为c ，其他一切相互作用都是以有限速度传播的，不存在瞬时的超距 作用
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射$3电偶极辐射在宏观情形，变化的电流系统（交变电流）向外辐射电磁波：在微观情形，变速运动（加速度不为零）的带电粒子辐射电磁波。本节考察对象：宏观电流系统（在其线度远小于辐射电磁波波长情形下的辐射问题）。计算辐射场的一般公式辐射场的矢势A(x,1) =0[Idv(1)xt4元Jc)考虑简单情形：电流密度J(s'.t)随时间t作简谐变化，采用复函数形式J(x',t)= J(x)exp(-iot)(2)注意到k=,对（2）式，作变换1一，有c)= J(1)exp|-io(t-|= J()expi(kr-ot)r't-上式代入（1）式，有(,1)-()expi(kr-lav(2a)4元1kr表示相位滞后。令A(x,t)= A(x)exp(-iot)(3)所以"()ekA()= dv4元r(4)给定电流分布，其他物理量的确定电荷密度ap(x,1) _-. J(,1) =-v (3)lexp(-iot)(5)at上面推导中用到J(x,t)=J(x)exp(-iot)。解方程（5)，有12
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 12 §3 电偶极辐射 在宏观情形，变化的电流系统（交变电流）向外辐射电磁波；在微观情形，变速运动（加 速度不为零）的带电粒子辐射电磁波。 本节考察对象：宏观电流系统（在其线度远小于辐射电磁波波长情形下的辐射问题）。. 一、 计算辐射场的一般公式 辐射场的矢势 ( ) ∫ ⎟ ′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − dV c r J x t r A x t , 1 4 , 0 K K K K π μ （1） 考虑简单情形：电流密度 J ( ) x′,t K K 随时间t 作简谐变化，采用复函数形式 J ( ) x′,t = J (x′)exp(−iωt) K G K K （2） 对（2）式，作变换 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → − c r t t ，注意到 c k ω = ，有 ( ) J () ( ) x i kr t c r J x i t c r J x t ω = ′ −ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ = ′ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′, − exp ( ) exp K G K G K K 上式代入（1）式，有 ( ) ( ) ( ) ∫ ′ ′ − = dV r J x i kr t A x t ω π μ exp 4 , 0 K G K K （2a） kr 表示相位滞后。令 A( ) x,t ≡ A(x)exp(− iωt) K K K K （3） 所以 ( ) ( ) dV r J x e A x ikr ′ ′ = ∫ K K K K π μ 4 0 （4） 给定电流分布，其他物理量的确定 z 电荷密度 ( ) J ( ) () x t [ J x ] ( ) i t t x t ω ρ = −∇ ⋅ = − ∇ ⋅ − ∂ ∂ , exp , K K K G K （5） 上面推导中用到 J (x,t) () = J x exp(− iωt) K G K K 。解方程（5），有