电动力学讲稿第五章电磁波的辐射方程（14）表明，离开电荷和电流区域后，它变为波动方程，说明矢势和标势也以波动形式在空间中传播（是非物理的波，因为选择其他规范，矢势和标势就可能没有波动特征，不像E和B，它们的波动性与规范的选择没有关系）。6
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 6 方程（14）表明，离开电荷和电流区域后，它变为波动方程，说明矢势和标势也以波动 形式在空间中传播（是非物理的波，因为选择其他规范，矢势和标势就可能没有波动特征， 不像 E G 和 B G ，它们的波动性与规范的选择没有关系）
电动力学讲稿●第五章重电磁波的辐射$2推迟势考察对象：位于原点的点电荷，其电量与1有关，记为Q(）。在t时刻，该点电荷的电荷密度p(x, t) = Q(0).8()(1)达朗贝尔方程100---0(0)s(x)Vo-(2)c?at?60达朗贝尔方程的解（r±0处）点电荷激发的场应该是球对称的，选择球坐标是方便的。在球坐标下，β应与和Φ无关，只与r有关（β具有球对称性）。利用√?的球坐标形式，在r0处，有1 0(200)100=0(3)ararcat?注意到（2）时在r≠0空间是波动方程，所以应具有波动形式的解（有等相面的概念）。又，系统具有球对称性，所以等相面是以点电荷为球心的球面（否则，球对称性被打破，即该系统在各方向并不等价，系统存在特殊的方向。（等相面为球面的波为球面波，最简单的球面波具有形式-expi(kr-@t))。对于所考查方程的解，也应是平面波。令0(r.1)=—u(r,1)(4)1（3）式变为aula'uL=0(5)or22at?(5)式的通解为u(r,t)= A,J+Ag(t+f和g是两个任意函数。故，在r+0处的势函数?解具有如下形式：7
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 7 §2 推迟势 考察对象：位于原点的点电荷，其电量与t 有关，记为Q(t) 。 在t 时刻，该点电荷的电荷密度 ( ) x t Q(t) (x) K K ρ , = ⋅δ （1） 达朗贝尔方程 Q() ( ) t x c t G δ ε ϕ ϕ 0 2 2 2 2 1 1 = − ∂ ∂ ∇ − （2） 一、 达朗贝尔方程的解（r ≠ 0处） 点电荷激发的场应该是球对称的，选择球坐标是方便的。在球坐标下，ϕ 应与θ 和φ 无 关，只与 r 有关（ϕ 具有球对称性）。利用 2 ∇ 的球坐标形式，在 r ≠ 0 处，有 0 1 1 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ r c t r r r ϕ ϕ （3） 注意到（2）时在 r ≠ 0 空间是波动方程，所以应具有波动形式的解（有等相面的概念）。又， 系统具有球对称性，所以等相面是以点电荷为球心的球面（否则，球对称性被打破，即该系 统在各方向并不等价，系统存在特殊的方向。 等相面为球面的波为球面波，最简单的球面波具有形式 （ exp ( ) 1 i kr t r − −ω ）。 对于所考查方程的解，也应是平面波。令 ( ) u( ) r t r r t , 1 ϕ , = （4） （3）式变为 0 1 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ t u r c u （5） (5)式的通解为 ( ) , ( ) 1 2 c r A g t c r u r t A f t ⎟ + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − f 和 g 是两个任意函数。 故，在 r ≠ 0 处的势函数ϕ 解具有如下形式：
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射rgl t+CCp(r,t)= A,(6)+A,A，A,及f和g由边界条件决定。讨论：上述两项有不同的物理意义。1第一项：等相面由Φ=t_决定。对一定相位值Φ。的面，满足Φ。=t-。所以，ccdr等相面移动速度为=C，它为正表明等相面沿产方向移动。dtdr第二项：同理可得等相面移动速度为=-C，它为负表明等相面沿（-r)方向移动。dt。所以，第一项是向外发散的球面波；第二项是向内汇聚的球面波。e对于电磁波辐射应考虑第一项，对于电磁波吸收应考虑第二项。#二、达朗贝尔方程的解（含r=0）一个点电荷激发电场的电势为g4元80注意到Q随时间变化，对于辐射问题，在t时刻r处的电场不是由t时刻，而是由C刻的电荷9决定的。即，从物理上，可以猜测，势函数β的解为1(7)p(r,t) =4元.r由前面的分析可知，在r≠0空间，（7）式满足达朗贝尔方程。现在的问题是，在r=0点及其邻域，是否满足达朗贝尔方程。考虑球心在原点（r=0），半径为n（（很小）的球体积，计算如下积分：(--)I=[4元r2dr 1(8)上述积分中的第二项101 =-11a[4m,0](-)]dr=-0(-)gdr8
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 8 ( ) r c r g t A r c r f t r t A ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 ϕ , （6） A1， A2 及 f 和 g 由边界条件决定。 讨论： 上述两项有不同的物理意义。 第一项：等相面由 c r Φ = t − 决定。对一定相位值Φ0 的面，满足 c r Φ0 = t − 。所以， 等相面移动速度为 c dt dr = ，它为正表明等相面沿 r K 方向移动。 第二项：同理可得等相面移动速度为 c dt dr = − ，它为负表明等相面沿( r) K − 方向移动。 z 所以，第一项是向外发散的球面波；第二项是向内汇聚的球面波。 z 对于电磁波辐射应考虑第一项，对于电磁波吸收应考虑第二项。 ＃ 二、 达朗贝尔方程的解（含r = 0） 一个点电荷激发电场的电势为 r Q 0 4πε 注意到Q 随时间变化，对于辐射问题，在t 时刻 r 处的电场不是由t 时刻，而是由 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − c r t 时 刻的电荷 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − c r Q t 决定的。即，从物理上，可以猜测，势函数ϕ 的解为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − c r Q t r r t 0 4 1 ( , ) πε ϕ （7） 由前面的分析可知，在 r ≠ 0 空间，（7）式满足达朗贝尔方程。 现在的问题是，在 r = 0 点及其邻域，是否满足达朗贝尔方程。 考虑球心在原点（ r = 0 ），半径为η （(很小)的球体积，计算如下积分: ∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∇ − η πε π 0 0 2 2 2 2 2 4 1 1 4 c r Q t c t r I r dr （8） 上述积分中的第二项 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ = − ′′ − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ = − η η ε π πε 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 1 4 4 1 1 rdr c r Q t c r dr c r Q t c t r I
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射当n→0时，-)~Q")，所以1I, α→0(9)积分「中的第一项[4元r?drI.=其中在√2的作用下，有三种项：（I）对Q的两次微商项；（II）对O的一次微商和对一的一次微商的乘积项；（II）对一的两次微商项。其中：第（I）类项α㎡2→0；第（II）1类项αn→0；只有第（IⅢI）类项可能不为零。所以11, =[4mr’dr -(10)4元起利用√?！=-4元8())]-4元0(3)] V = _ 20)1 = 4ne.06利用（9）、（10）两式-= 1 + 1, =- 20[4m (--)(11)C二0(0)6()算体积分，结果为对于前面的小体积，再对60二0()6(3)]--20)[4元-”dr(12)6060比较（11）和（12）式，在r=0及其邻域，有7?_100(0)s(3)2%即，（7)式p(r,t)=满足达朗贝尔方程。4元.1C三、其他情形达朗贝尔方程的解1．点电荷不在原点设点电荷在x处。9
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 9 当η → 0 时， ( ) Q ( )t c r Q′′ t − ≈ " ，所以 0 2 I 2 ∝η → （9） 积分 I 中的第一项 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∇ − η πε π 0 0 2 2 1 4 1 4 c r Q t r I r dr 其中在 2 ∇ 的作用下，有三种项：（Ⅰ）对Q 的两次微商项；（Ⅱ）对Q 的一次微商和对 r 1 的 一次微商的乘积项；（Ⅲ）对 r 1 的两次微商项。其中：第（Ⅰ）类项 0 ∝ η2 → ；第（Ⅱ） 类项∝ η → 0 ；只有第（Ⅲ）类项可能不为零。所以 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟∇ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − η πε π 0 2 0 2 1 1 4 1 4 c r r I r dr Q t （10） 利用 ( ) x r G 4πδ 2 1 ∇ = − [ ] ( ) ( ) 0 0 0 1 4 4 1 ε πδ πε η Q t x dV c r I Q t ⎟ − = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∫ G 利用（9）、（10）两式 ( ) 0 1 2 0 0 2 2 2 2 2 4 1 1 4 πε ε π η Q t I I c r Q t c t r I r dr ⎥ = + = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∇ − ∫ （11） 对于前面的小体积，再对 () ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − Q t x G δ ε 0 1 算体积分，结果为 () ( ) ( ) 0 0 0 2 1 ' 4 ε δ ε π η Q t I r dr Q t x ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ∫ G （12） 比较（11）和（12）式，在 r = 0 及其邻域，有 Q() ( ) t x c r Q t c t r G δ πε ε 0 0 2 2 2 2 1 4 1 1 ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∇ − 即，（7）式 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − c r Q t r r t 0 4 1 ( , ) πε ϕ 满足达朗贝尔方程。 三、 其他情形达朗贝尔方程的解 1． 点电荷不在原点 设点电荷在 x′ K 处
电动力学讲稿●第五章电磁波的辐射p(x, 1) =(13)Xr4元60C作坐标平移变换元”=x－x，即可证明（13）式满足达朗贝尔方程。电荷连续分布的带电体2.由（13）式，对于标势g(x,1)=(14)4T及对于矢势A(x,t)= Hodr(15)均满足达朗贝尔方程。四、关于洛伦兹规范条件达朗贝尔方程，是由Maxwel1方程在洛伦兹规范条件下导出的势函数满足的方程，所以，在物理上，还应要求上面得到的势函数A与β满足洛伦兹规范条件。设 1=1-CV.A(,)=[v(av4元现将对的微商变为对的微商，注意到r=区-刘，所以→-V；又，对于J(x,)而言，原来的√不对又作用（要求刘不变），换成√后对J(，)中双有作用，要扣除这个作用。所以(,)_(,)不变μoldvV. A(x,t)=V4元Lr注:(J(x',t)).J(,)(J(,t))+V区-刘（区-刘L不变不变#上述积分空间应包含所有电流分布，根据Gauss定理，上式第一项积分为零，所以HorV. A(x,1)= 4-vj(x,t)不变dv(16)4元又，10
电动力学讲稿●第五章 电磁波的辐射 10 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − c r Q x t r x t , 4 1 , 0 K K πε ϕ （13） 作坐标平移变换 x′′ = x − x′ K K K ，即可证明（13）式满足达朗贝尔方程。 2． 电荷连续分布的带电体 由（13）式，对于标势 ( ) , ' 1 4 1 , 0 dV c r x t r x t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − ∫ K K ρ πε ϕ （14） 及对于矢势 ( ) , ' 1 4 , 0 dV c r J x t r A x t ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ′ − ∫ K K K π μ （15） 均满足达朗贝尔方程。 四、 关于洛伦兹规范条件 达朗贝尔方程，是由 Maxwell 方程在洛伦兹规范条件下导出的势函数满足的方程，所以， 在物理上，还应要求上面得到的势函数 A G 与ϕ 满足洛伦兹规范条件。 设 c r t′ = t − ( ) ( ) ∫ ′ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ' , ' 4 , 0 dV r J x t A x t K G K π μ 现将对 x G 的微商变为对 x' G 的微商，注意到 r x x' G G = − ，所以∇ → −∇'；又，对于 J ( ) x ,t' K G ′ 而 言，原来的∇ 不对 x' G 作用（要求 x' G 不变），换成∇'后对 J (x ,t') K G ′ 中 x' G 有作用，要扣除这个作 用。所以 ( ) ( ) ( ) ∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∇ ⋅ ′ − ′ ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ ' , ' ' , ' ' 4 , 0 ' dV r J x t r J x t A x t t 不变 K G K G K π μ 注： ( ) ( ) ( ) 不变 不变 ＋ ' ' ' , ' ' ' , ' ' , ' ' t x x x J x t x x J x t r J x t G G G K G G G K G K G ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ ∇ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ′ = ∇ ⋅ ′ ∇ ⋅ ＃ 上述积分空间应包含所有电流分布，根据 Gauss 定理，上式第一项积分为零，所以 ( ) ( ) ∫ ∇ ⋅ = ∇'⋅ ′, ' ' 1 4 , ' 0 J x t dV r A x t t 不变 K G K π μ （16） 又