第一节向量及其运算，与α同方向的单位向量e。=cosβ =cosacosy(3)设α、β、是向量a的三个方向角，则sin2α+sinβ+sin2=（4)设向量a=（2，-14）与向量b=（1，k，2）平行，则k=(5)已知三点M(1,-2,3)，M2(1,1,4)，M(2,0,2)，则M,M,.MM. M,M, x M,M,（6)以点A(2，－1，-2）、B(0，2，1)、C(2，3，0）为顶点，作平行四边形ABCD，此平行四边形的面积等于（7)向量a=（4，-3，1）在b=（2，1，2）上的投影Prj,a=b在a上的投影 Pri.b =(8)设a=(1,2,3),b=(-2,k,4)，而alb，则k=2.一向量与轴和轴的夹角相等，而与轴的夹角是与轴的夹角的两倍，求向量的方向角3.给定M(-2，0，1)，N(2，3，0)两点，在0x轴上有一点4，满足IAMI=1ANI，求点A的坐标，4.从点A（2，-1，7）沿向量a=（8，9，-12）方向取长为34的线段AB，求点B的坐标,5.设点P在轴上，它到点P（/2，0.3）的距离为到点P,（10，-1）的距离的两倍，求点P的坐标，兰和三且J0A|=66.设点A位于第I卦限，向径0A与x轴、轴的夹角依次为43求点A的坐标7.证明：Prj（入a）=入Pri,a8.记e为非零向量a的同向单位向量，证明：eaTa9.求平行于向量α=6i+7j-6k的单位向量，10.设向量a与各坐标轴成相等的锐角，a=2/3，求向量α的坐标表达式11. 已知a=(1, 1,- 4), b =(1,- 2, 2), 求:(1)a·b；（2）a与b的夹角；（3）a在b上的投影12.已知两点M(2.2./2）和M（1，3，0），计算向量MM，的模、方向余弦和方向角13.设[a=3，1b|=2，(a，b)=，求2(1) (3a + 2b) -(2a - 5b) ; (2) la - bl .14. 已知点A(1,-3,4),B(-2,1,-1)，C(-3,-1,1)，求:（1）ZBAC：（2）AB在AC上的投影.15.已知a=(2,3,1)，b=(1,-2,1)，求a×b及b×a.16.已知向量a=（2,-3，1）.b=（1,-13）c=（1.-2,0），求：(1)(a+b)x(b+c):(2)(axb).c:(3)(axb)xc:(4)(a-b)c=(a-c)b.:17
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第五章向量与空间解析几何17.求与a=3i-2j+4k，b=i+j-2k都垂直的单位向量.18.已知空间四点A（-1，0，3)，B(0，2，2)，C(2，-2，-1)，D(1，-1，1），求与AB、CD都垂直的单位向量.19.设向量a=2i+j，b=-i+2k，求以a、b为邻边的平行四边形的面积.20.求以点A（1，2，3）、B（0，0，1）、C（3，1，0）为顶点的三角形的面积.2l.设A=2a+b,B=ka+b，其中lal=1.1bl=2,a1b问：(1)k为何值时，AB？(2)k为何值时，以A与B为邻边的平行四边形的面积为6？22.已知a=2m+3n，b=3m-n，m、n是两个互相垂直的单位向量，求：(1)a.b;(2)axb/.23.设a、b、c满足a+b+c=0.(1)证明：a·b+b·c+ca=-(1a2 + [b12 + [e12) 2(2)若还满足la|=3,[b[=4，lc|=5,求la×b+b×+c×al24.设a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b之间的夹角.25.试用向量方法证明三角形的余弦定理26.利用向量积证明三角形正弦定理：27.已知向量a≠0，b￥0，证明：I axbl2 =l alR/b12/(a.b)2.28.已知a、b、c两两垂直，且lal=1，/bl=2，1cl=3，求s=a+b+c的长度及它和a、b、c的夹角、S29.已知a=（7，-4，-4),b=(-2.-1，2），向量c在向量a与b的角平分线上，且1c=3/42，求c的坐标，30.设向量x与j成60°，与k成120°，且x|=5/2，求x第二节平面及其方程【课前导读］在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方程一一曲线方程的概念，同样，在空间解析几何中，任何曲面都可看作满足一定几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹也能用方程来表示，从而得到曲面的概念，平面是空间中最简单而且最重要的曲面：本节我们将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立其方程，并进一步讨论有关平面的一些基本性质。一、平面的点法式方程由中学立体几何知道，过空间一点，与已知直线垂直的平面是唯一的，因此，如果已:18:
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第二节平面及其方程知平面上一点及垂直于该平面的一个非零向量，那么这个平面的位置也完全确定了，现在，根据这个几何条件来建立平面的方程，首先我们给出平面的法线向量的定义：如果一个非零向量垂直于一个平面，则该向量就称为该平面的法线y向量（简称平面的法向量）：显然，一个平面的法向量有无穷多个，它们之间互相平行，且法向量与平面上的任何一个向量都垂直（见图5-33）.图533设Mo（xo，yo，zo）是平面II上的一个定点，且已知该平面的法向量n=（A，B，C），则对于平面上的任一点Mx，y，z），由于向量M.M=（x-xo，y-yo，z-zo）必与平面ⅡI的法向量n垂直，于是有M,M·n=o，即A(α-xo) +B(y-yo)+C(z-zo)=0.(1)式（1)是以x、y、z为变量的三元一次方程，从上面的推导过程可以看到，平面ⅡI上任意一点M(x，y，z）的坐标一定满足方程，而若点M(x，y，2）不在平面上，则MoM与n不垂直，即MoM·n0，即点M(x，y，z）不满足方程，因此式（1)就是平面ⅡI的方程，又因为我们是在给定平面上的一个点Mo（xo，yo，20）和它的个法向量n=（A，B，C)的条件下得到的式(1)的，因此式(1)又称为平面的点法式方程例1求过点（2，3，1）且与n=（－1，一2，0）垂直的平面的方程解根据平面的法向量的概念，向量n（1，一2，0）即为所求平面的一个法向量，所以由平面的点法式方程可得- 1. (x - 2)-2 (y - 3) + 0 . (z - 1)=0,即(x -2)+2( - 3)=0,或x +2y - 8 =0.例2求过点M（1，-1，-2）、M（-1，2，0）及1n=MMxMMM（1，3，3）的平面的方程。M解由于三点M、M2、M，均在平面上，所以M,M，、M,M，与平面平行，由向量积的概念可知，MM.向量M.M,×MM,与MM，MM都垂直，即与所求平面垂直，因此它是平面的一个法向量（见图5一图5-3434），而M,M, =((= 1) = 1, 2 - (- 1), 0 =(- 2))=(- 2, 3, 2),M,M, =(1 - 1, 3 - (-1), 3 -(-2))=(0, 4, 5),ijk取n=M,M, ×M,M, =-232=（7、10，-8），则平面方程为0457(x-1)+10(y +1)-8(z+2)=0,即7x +10-8z-13=0:19
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第五章向量与空间解析几何二、平面的一般方程由平面的点法式方程（1）知任一平面的方程都是三元一次方程，反之，可以证明任何一个三元一次方程Ax + By+ Cz + D= O(2)一定表示平面.任取一组（xo，Yo，20）满足(3)Axo +Byo + Czo +D=0,（2）-（3)得A（x-x）+B(-yo）+C（z-z）=0，即为平面的点平面方程法式方程（1）由于式（2）与式（1）是同解方程，故表明三元一次方程的图形一定是平面方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程，其中n=（A，B，C)即为该平面的一个法向量：对于一些特殊的三元一次方程所表示的平面，应该熟悉它们图形的特点（1）当D=0时式（2）成为Ax+Bv+Cz=0.显然<原点0(0.0：0）的坐标满足此方程，因此，方程Ax+By+Cz=0表示过原点的平面（2)当A=0时，By+Cz+D=0所表示的平面的法向量为n=（0，B，C），法向量n在x轴上的投影为零，故与x轴垂直，所以该平面与轴平行；同理，当B=0时，平面Ax+Cz+D=0平行于y轴；当C=O时，平面Ax+By+D=0平行于z轴.(3)当A=B=0时，平面Cz+D=0的法向量为n=（0，0，C），法向量n在x轴和y轴上的投影都为零，故与x轴和y轴都垂直，即与xOy面垂直，所以该平面平行于xOy面；同样，当B=C=0或A=C=0时×式(2)成为Ax+D=0或By+D=0，它们分别表示与yOz面或与zOx面平行的平面，特别地，方程z=0，x=0，y=0分别表示了三个坐标面：x0y面、yOz面和z0x面.例3求通过x轴和点（2，4，1）的平面方程解法一设所求平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，因为所求平面通过×轴，且法向量垂直于x轴，于是法向量在x轴上的投影为零，即A=0.由于平面通过原点，所以D=0，从而方程成为By + Cz = 0,(4)又因平面过点（2，4，1），因此有4B+C=0，即C=-4B.以此代人式（4），再除以B（B≠0），便得到所求方程为y - 4z = 0.解法二因为所求平面通过x轴，故原点0（0，0，0）在平面上，向量0M =(2 - 0, 4 - 0, 1-0) = (2, 4, 1)在平面上，又x轴的单位向量i=（1，0，0）与平面平行，于是向量积0M×i与平面垂直，即它是平面的一个法向量，而ijk4OMxi=2k=j-4k24101: 20-
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第二节5平面及其方程根据平面的点法式方程，得到所求方程为y - 4z = 0.三、平面的截距式方程例4设一平面与x、y、z轴分别交于点P(a，0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)（abc≠0），求这个平面的方程（见图5-35）.12解设平面的一般方程为(5)Ax + By + Cz + D = 0,分别将上述三点的坐标代入方程，得Aa+D=0.Bb+D=0.Cc+D=0即DDDA=B :C2b出版社aS代人式（5)得图5-35DDD+D=0（这里D≠(6yac即x+y=1称为平面的截距式方程.a、b和c叫作该平面的截距6a四、平面与平面、点与平面的关系1.两平面的夹角两平面的法向量所夹的锐角（或直角）称为两平面的夹角（见图5-36）设平面Ⅱ，的方程为nAx + Bry+ C,z + D, = 0,2平面II，的方程为A2x +B2y + C2z+D2 =0,即n =(A1, Br, C,),n2 =(A2, B2, C2)图5-36则平面ⅡI，与平面II，的夹角6=（II，ⅡI，）的余弦为In,.n2]IA,A2 + B,B2 + C,C2 1coso[n,/ /n2]A+B+CA+B,+C由此可推得两个平面平行和垂直的充要条件·21
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