第五章向量与空间解析几何(a)(b)图5-26A|vcoso=Av·n（=Avlncos（v，n）），故单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的重量P=pAv·n五、向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩，如图5-27所示，设杆L，支点为0，受力F作用，由力学可知，力F对支点0的力矩是个向量M，其大小为[M=|o0l/F]-/oP|F sine ,其方向为：M垂直于OP与F所在平面，M的指向是按右手规则从OP转向F，转角不超过π，此时，大拇指的方向就是M的指向（见图5-28），向量积0C/M=OPxF图5-27图5-28定义2若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件（见图5-29）：（1）c的方向既垂直于a又垂直于b，c的指向按右手规则从a转向b来确定：（2）c的模|c=albsino（其中为a与b的夹角），则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为c=axb.按此定义，上面的力矩M等于OP与F的向量积，即M =OP × F.: 12 -
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第一节向量及其运算根据向量积的定义，即可推得(1)axa=0;(2)设a、b为两非零向量，则a/ /b的充分必要条b件是a×b=0.证(1) [a ×a[= [allasin(a, a)=0(2)=已知a//b，即(a，b)=0或(a，b)=π，故sin(a, b)=0,即 [a ×b=|allbsin(a, b)=0,a×b = 0←若已知a×b=0,即lal[b|sin(a, b)= 0,故sin(a，b）=0,（a，b）=0或（ab）=T，因此c-axba//b.出版社。由此可知，空间三点A、B、C共线的充分必要条件是AB ×AC = 0.向量积满足下列运算规律.(1)axb=-b×a;(2)分配律（a+b）×c=axc+b×c;(3)结合律（a×b）=（^a）×b=ax（>b）（x为实数）.证明请读者自己完成。下面我们来推导向量积的坐标表示式设a=(ax,ay,a.)=ai +ai+ak,b=(br,by,b.)=bi+bj+bk,则a×b=(ai+ayj+ak) ×(bi+b,j+b,k)=abixi+abixj+abixk+abjxi+ab,jxj+a,b.jxk+abkxi+abkxj+abkxk,注意到ixi=jxj=kxk=0,ixj=k，jxk=i，kxi=j，并利用二、三阶行列式的计算公式（见本章的拓展阅读），则有axb=abk-abj-abk+abi+abj-abi=(a,b-ab,)i-(ab,-a,b)j+(arb-a,b)kaaara.ax-1)b..b.b.b.bb..1jkarayababb.由此可得：若[a|≠0，b|≠0，则axb=0-a//b=a,b,-ab,=0,a,b,-abr=0,aby-a,b,=0,二（亦即a=^b，为实数）bbyb:13
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第五章向量与空间解析几何例13求与a=3i-2j+4k，b=i+j-2k都垂直的单位向量ijkkij324解a.c=axb=axa,= 10j + 5k,brb[112bn因为[c|=/102+52=5/5，所以e+=c]575例14在顶点为A(1，-1，2）、B(5，-6，2）和C(1，3，-1)的三角形中，求AC边上的高BD解C=（0，4，-3），AB=（4，-5，0），根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积为1AC×B1号/152 + 12+ 1625IACIIAB|sin ZA =-S=-2222又I AC1I BDI, / ACI = V42 +(F3)2S =-2所以25_1·5-I BDI，从而I BDI=5.22例15设向量m，n，p两两垂直，符合右手规则.且[m]=4, |n/-2, [P/=3,计算（m×n）p解 I m ×nl = mll nI sin(m, n)=4×2×1=8，依题意知m×n与p同向，则 =((m×n), p)=0, (m ×n) ·p=l m ×nl - pl coso =8 .3=24.to例16设刚体以等角速度?绕1轴旋转，计算刚体上一点M的线速度，解刚体绕1轴旋转时，我们可以用在1轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则写出，即右手握住1轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向，如图5-30所示，设点M至旋转轴1的距离为a，再在1轴上任取一点0，作向量r=OM并以0表示与r的夹角，则a=1rIsino.设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度o的关系可知，的大小为I v[=|wla=lollrl sing;图5-30v的方向垂直于通过M点与1轴的平面，即v垂直于与r；又v的指向是使の、r、符合右手规则，因此有v=oxr.六、混合积定义3设已知三向量a、bc，先作向量积axb，再作数量积（a×b）：c，记作: 14-
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第一节向量及其运算[abc]，称为三个向量a、b、c的混合积下面我们来看混合积的坐标表示式，设a=(ax,ay,a)=ai+a,j+ak,b=(br,by,b)=bi+b,j+bk,c=(ct,cr,c.)=ci+cj+ck,则ikaxb:aa,ahb,b.b.a,1(axb)b,6.baQ1bbb?Ccrcc.由此可得：[abcl=(axb)-c=(bxc).a=(cxa)-b=c.(a.(bxc)= b-(cxa).混合积是一个数，它的绝对值表示以向量α、b、c为棱的平行六面体的体积。若a、b、c成右手系时,[abc]≥O；若a、bc成左手系时，［abc]≤0.事实上，由于|a×b|=[a||bsin(a，b）表示边长为la、[b|的平行四边形面积(见图5-31)，若a×b与c在a、b所在平面的一侧，即a×b与c之间的夹角为锐角，则（axb）·c=laxbllccoso>O；若axb与c在a、b所在平面的两侧，即axb与c之间的夹角为钝角，则(a×b）·c=la×blc1cosa<o.而c|cos为平行六面体的高，因此V=±[a×bllclcos6=±[abc] (见图5-32),axbaxbS=laxbaa图5-32图5-31非零向量a、b、c共面的充分必要条件是【abc]=0.由此可知，空间四点A、B、C、D共面的充分必要条件是「ABACAD1=0例17已知（a×b）·c=2,计算[(a+b）×（b+c)］·(c+a).解[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=[a×b+axc+b×b+b×c](c+a)=(axb) c+(axc) c+(bxb) -c+(b xc) -c+(axb)-a+(axc).a+(bxb).a+(b×c)-a=(a×b)-c+0+0+0+0+0+0+(a×xb)c=2(a ×b):c= 4.:15
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第五章向量与空间解析几何例18已知空间内不在同一平面上的四点A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, 3, z3), D(x4, y4, z4) ,求四面体ABCD的体积解由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB、AC、AD为棱的平行六面体的体积的六分之一，即I[ABV=ACAD1L6而AB =(x2 - X1, y2 - J1, 22 -z),AC=(r -xi, y3 -y1, z3 -z)),[AD = (x4 - X1, y4 - y1, 24 - 2),-x1 y2 -y1 z2 -zx所以Vy3-yi3-z1：式中正负号的选择必须和行列式的符号一致x3-x1x4-x1Y4-yZ4-Z1例19已知a=i.b=j-2k，=2i-2j+k，求—单位向量，使1c，且与a、b同时共面.解设所求向量=（x，，z).依题意I=L、即x2+2+2-1(1).C=0即由c，可得(2)+z=0,=0，即由与a、b共面，可得ahz00(3)1=2y+z=001-2将式(1）、式(2)与式(3)联立解得222211或x?13,3333122所以=3,3,-3习题5-11.填空题.（1)已知点A(2，-1,1），则点A与z轴的距离是，与y轴的距离是与x轴的距离是(2)向量a=（-2,6，-3）的模为[a=，方向余弦为:16
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